志賀先生のルベーグ積分について

質問

はじめまして
只今大学生で数学を学んでおります。
ゼミで志賀先生の、ルベーグ積分から確率論へ、を学んでおります。
cermonsさんが以前質問されていた問題1.3が同じく分かりません。
出来れば解答を頂けたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

#1です.訂正します

f,gは[a,b]上の有界関数とする.
[a,b]の分割Δに対し
S^(fg;Δ)=sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k)
S_(fg;Δ)=inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k)
だから
S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ)
=sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k)
=sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)g(x_k)-f(y_k)g(y_k)}(Δ_k)
=sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}[f(x_k){g(x_k)-g(y_k)}+g(y_k){f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k)
≦sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}[||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}+||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k)
=
sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k)
+sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k)
=
||f||∞sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k)
+||g||∞sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k)
=
||f||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{g(y_k)}(Δ_k)]
+||g||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(y_k)}(Δ_k)]
=
||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ))

∴
S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ)≦||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ))

回答No.1

muturajcp

f,gは[a,b]上の有界関数とする.
[a,b]の分割Δに対し
S^(fg;Δ)=sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k)
S_(fg;Δ)=inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k)
だから
S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ)
=sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k)
=sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)g(x_k)-f(y_k)g(y_k)}(Δ_k)
=sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}[f(x_k){g(x_k)-g(y_k)}+g(y_k){f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k)
≦sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}[||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}+||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k)
=
sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k)
+sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k)
=
||f||∞sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k)
+||g||∞sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k)
=
||f||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{g(y_k)}(Δ_k)]
+||g||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(y_k)}(Δ_k)]
=
||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ))

∴
S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ)≦||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ))