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志賀先生のルベーグ積分について
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- muturajcp
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#1です.訂正します f,gは[a,b]上の有界関数とする. [a,b]の分割Δに対し S^(fg;Δ)=sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k) S_(fg;Δ)=inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k) だから S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ) =sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k) =sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)g(x_k)-f(y_k)g(y_k)}(Δ_k) =sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}[f(x_k){g(x_k)-g(y_k)}+g(y_k){f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k) ≦sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}[||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}+||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k) = sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k) +sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k) = ||f||∞sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k) +||g||∞sup_(x_k,y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k) = ||f||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{g(y_k)}(Δ_k)] +||g||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(y_k)}(Δ_k)] = ||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ)) ∴ S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ)≦||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ))
- muturajcp
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f,gは[a,b]上の有界関数とする. [a,b]の分割Δに対し S^(fg;Δ)=sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k) S_(fg;Δ)=inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k) だから S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ) =sup_(x_k)Σ_{k=1～n}f(x_k)g(x_k)(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}f(y_k)g(y_k)(Δ_k) =sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)g(x_k)-f(y_k)g(y_k)}(Δ_k) =sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}[f(x_k){g(x_k)-g(y_k)}+g(y_k){f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k) ≦sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}[||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}+||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}](Δ_k) = sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}||f||∞{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k) +sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}||g||∞{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k) = ||f||∞sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)-g(y_k)}(Δ_k) +||g||∞sup_(x_k)inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)-f(y_k)}(Δ_k) = ||f||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{g(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{g(y_k)}(Δ_k)] +||g||∞[sup_(x_k)Σ_{k=1～n}{f(x_k)}(Δ_k)-inf_(y_k)Σ_{k=1～n}{f(y_k)}(Δ_k)] = ||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ)) ∴ S^(fg;Δ)-S_(fg;Δ)≦||f||∞(S^(g;Δ)-S_(g;Δ))+||g||∞(S^(f;Δ)-S_(f;Δ))
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