離散時間伝達関数の因数分解

質問

次の離散時間伝達関数の式、
(1 + 0.2*z) * (1 + 0.2*z^-1)
----------------------------
(1 + 0.5*z) * (1 + 0.5*z^-1)

を因数分解すると、次の4つの式、

(z + 0.2)
---------
(z + 0.5)

(1 + 0.2*z)
-----------
(z + 0.5)

(z + 0.2)
-----------
(1 + 0.5*z)

(1 + 0.2*z)
-----------
(1 + 0.5*z)

になるようですが、なぜこのようになるか、さっぱり分かりません。
お分かりになる方、お教えいただけないでしょうか、、
どうぞよろしくおねがいします。

回答No.1

hikkyhokky · ベストアンサー

元の式の分母、分子にzを掛けると、
(1+0.2z)(z+0.2)
---------------------
(1+0.5z)(z+0.5)
になります。

次にこれの「因数分解」の意味が正確に取れないのですが、積の形で表すという意味だとすると（既に積の形になっているのですが。。。）４つの式を積にすると、
(z+0.2)^2*(1+0.2Z)^2
------------------------
(z+0.5)^2(1+0.5z)^2
となり、上の式の分母、分子をそれぞれ二乗した式になります。

ですので、等価な式である事は間違いないです。なんのためにこの変形を行ったのかは、もう少し前後の説明が無いと良く理解できません。

お礼

回答ありがとうございます。

> 次にこれの「因数分解」の意味が正確に取れないのですが、積の形で表すという意味だとすると（既に積の形になっているのですが。。。）

はい、私も、既に因数分解されてるよね、、？？？と。やっぱり、そうですよね。

> なんのためにこの変形を行ったのかは、もう少し前後の説明が無いと良く理解できません。

元々、「カルマンフィルタの基礎」という本の中のP.23の例題2.1でして、、
https://amzn.to/2LQUAVH
なか見検索で「因数分解」と検索すると、当該ページを見ることができます。

zをかけてみました。
(1 + 0.2*z) * (1 + 0.2*z^-1) * z
-------------------------------------
(1 + 0.5*z) * (1 + 0.5*z^-1) * z
↓
(1 + 0.2*z) * (z + 0.2*z^-1+1)
------------------------------------
(1 + 0.5*z) * (z + 0.5*z^-1+1)
↓
(1 + 0.2*z) * (z + 0.2*z^0)
--------------------------------
(1 + 0.5*z) * (z + 0.5*z^0)
↓
(1 + 0.2*z) * (z + 0.2)
--------------------------
(1 + 0.5*z) * (z + 0.5)

あ、zをかけると4つの式の要素が出てきますね、、
z^-1の表現を、zをかけることで取り除いただけなんですね。
私は、z^-1をかけてたので、同じにならなかったんですね、、
そして、最後の式をHとしたとき、これを分数の形式で割り切れるのは、次の4つの分子・分母の組み合わせ、

H1:
(z + 0.2)
----------
(z + 0.5)

H2:
(1 + 0.2*z)
-------------
(z + 0.5)

H3:
(z + 0.2)
-------------
(1 + 0.5*z)

H4:
(1 + 0.2*z)
-------------
(1 + 0.5*z)

になる、ということのようですね。
多分、これで理解できたと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

「z 変換 (z = exp(jωT) 」スタイルの離散時間伝達関数にて、「二乗振幅」を勘定しているらしい。
つまり、一次因数ごとに複素共役値 (z → 1/z) をかけたもの。

　(1 + 0.2z) → (1 + 0.2/z)
　(1 + 0.2/z) → (1 + 0.2z)
　(1 + 0.5z) → (1 + 0.5/z)
　(1 + 0.5/z) → (1 + 0.5z)

らしいので、結果が 2 乗形になってしまう…？

お礼

回答ありがとうございます。
実は私も、z^-1 (1/z) をかけていまして、、
そうすると、どうしても元の式が出てこないため、頭を抱えていました。