図形の問題です

質問

19.3x13(cm)の寸法の長方形に、20×10(cm)の紙を斜めで配置することはできますか？

回答No.3

staratras

図を描いてみたり、紙を実寸大に切って乗せてみたりすれば、「できないらしい」ことは直感的にわかりますが、数学的に示すのは少し厄介です。以下cmを省略します。

まず中に入れる長方形（以下Aとする）の長辺20は入れる長方形（以下Bとする）の長辺19.3より大きいので、傾ける必要があります。Aの頂点がBの底長辺上にあるときを考えると、傾きをx度とするとxが最小になるのは下の図の左上の場合で、このときcosx=19.3/20 だから、x≒15.20度です。またxが最大になるのは下の図の右上の場合で、このときsinx=13/20　だからx≒40.54度です。

x度だけ傾けたとき、Aの長方形の最高点の高さhは下の図の下方の図で明らかなように、h=20sinx+10cosx=10√5sin(x+α）となります。
ただしcosα=2/√5　sinα=1/√5　よりα≒26.56度

f(x)=10√5sin(x+α）について（安全を見越して）15度≦x≦41度の範囲で調べるとf(x)>13です。グラフからも明らかなようにこの区間でf(x) は単調増加でf(15°)≒14.83くらいだからです。これはどうやってもAの長方形の最高点がBの長方形からはみ出してしまうことを意味します。