図形の問題です

質問

19.3x13(cm)の寸法の長方形に、20×10(cm)の紙を斜めで配置することはできますか？

回答No.9

staratras · ベストアンサー

No.8です。8の回答はもう少し計算を簡単にできます。

まず、四隅の「余白」（？）の三角形はすべて相似でなければなりませんので、斜辺に対する最短辺の比を考えると、x/20=y/10 すなわち　y=x/2　…(1)という関係があります。

また斜辺に対する2番目の長さの辺の比を考えると
(19.3-y)/20=(13-x)/10 …（2）が成り立ちます。

(1)を(2)に代入して解くと、x=13.4/3、y=13.4/6 が得られますが、これはNo.8の（１）も（２）も満たしません。

こちらの方が係数が複雑な2次方程式を解くより簡単です。

回答No.8

staratras

No.3&4です。いろいろ検討してみましたが、題意のように入れることができたと仮定すれば矛盾が生じることを示すのが最も簡単なようです。

下の図のように長辺19.3で短辺13の長方形ABCDの内部に、長辺20で短辺10の長方形EFGHを傾けて入れることができたと仮定します。

図の対称性から、AE=CG=x、BF=DH=y　と置くことができます。（0<x<13,0<y<10)
ここで三角形AEHと三角形BFEは直角三角形なので三平方の定理から
x^2+(19.3-y)^2=20^2 …（１）
(13-x)^2+y^2=10^2 …（２）とならなければなりません。
(1)(2)をx,yに関する連立方程式と見た場合（0<x<13,0<y<19.3)の範囲に解をもつ必要があります。

(1)-(2)からy=(26x-96.51)/38.6 …（３）これを(1)に代入して整理すれば、
2165.96x^2-43757.48x+112121.4201=0 となりこれを解くと
x≒17.1912 またはx≒3.0111 くらいです。

このうち0<x<13 を満たすx=3.0111 を（３）に代入するとy=-0.4720…となり0<ｙを満たさないので不適です。

（１）（２）は（0<x<13,0<y<19.3)の範囲に解を持たないので、題意のように入れることができるという仮定は誤りです。

なお回答4で「No.2のf(x)のグラフ」と書いたのは「No.3のf(x)のグラフ」の誤りです。失礼しました。

回答No.7

HohoPapa

こんな説明はいかがでしょうか？

20×10(cm)の紙を縦置きし、少しづつ時計回りに回転すると、
占有する幅と高さが変動します。

画像のように、
傾きをθ、占有する幅をｗ、占有する高さをｈ、
更に、画像のように、ｈ'、ｈ"、ｗ'、ｗ"としたときに
ｗ、ｈは、

ｈ'　=　10Sinθ
ｈ"　=　20Cosθ
ｈ　=　ｈ'　+　ｈ"
ｈ　　=　10Sinθ　+　20Cosθ

ｗ"　=　10Cosθ
ｗ'　=　20Sinθ
ｗ　=　ｗ'　+　ｗ"
ｗ　=　10Cosθ　+　20Sinθ

という計算式で求めることができます。

他方、添付画像は
θが０°から９０°までのｈ、ｗを一覧にしたものの抜粋です。

傾きが約９°以上になると、ｗが13を超えることから、
これ以上傾けることができません。
他方、ｈが19.3以下となる傾きは約５７°以降ですから、
どのように傾けても配置することができません。

回答No.6

178-tall

ANo.5 への蛇足。

右上角の x - 座標 (X) を 20 から 0 までスキャンすると、左上角の y - 座標 (Y) は、
10 から 20 まで変化するが、両カーヴの交叉点は20 を超え、かつ、交叉点の前後に
て交叉点を超える。

つまり、両カーヴのどちらかが 20 以上になってます。

回答No.5

178-tall

20×10 (cm) の正方形を斜めに置いたときの横幅と高さを調べてみる…のが判り良さそうですネ。
直交座標にて、
　正方形の右下角を x - 軸上に
　正方形の左下角を y - 軸上に
置いて、右上角の x - 座標 (X) と、左上角の y - 座標 (Y) を調べてみる。

右下角の座標を x (20≧x≧0) として、左下角 (x=0) の高さ y は、
　y = √(20^2 - x^2)　　… (0)

右上角の x - 座標 (X) は、
　X = L + √(20^2 - x^2)/2　　… (1)
左上角の y - 座標 (Y) は、
　Y = y + x/2　　… (2)

(1), (2) をプロット (ないし、交叉点チェック) してみると、19.3×13 (cm) の寸法内の該当ペアは無い、とわかります。

回答No.4

staratras

No.2のf{x}のグラフです。

回答No.3

staratras

図を描いてみたり、紙を実寸大に切って乗せてみたりすれば、「できないらしい」ことは直感的にわかりますが、数学的に示すのは少し厄介です。以下cmを省略します。

まず中に入れる長方形（以下Aとする）の長辺20は入れる長方形（以下Bとする）の長辺19.3より大きいので、傾ける必要があります。Aの頂点がBの底長辺上にあるときを考えると、傾きをx度とするとxが最小になるのは下の図の左上の場合で、このときcosx=19.3/20 だから、x≒15.20度です。またxが最大になるのは下の図の右上の場合で、このときsinx=13/20　だからx≒40.54度です。

x度だけ傾けたとき、Aの長方形の最高点の高さhは下の図の下方の図で明らかなように、h=20sinx+10cosx=10√5sin(x+α）となります。
ただしcosα=2/√5　sinα=1/√5　よりα≒26.56度

f(x)=10√5sin(x+α）について（安全を見越して）15度≦x≦41度の範囲で調べるとf(x)>13です。グラフからも明らかなようにこの区間でf(x) は単調増加でf(15°)≒14.83くらいだからです。これはどうやってもAの長方形の最高点がBの長方形からはみ出してしまうことを意味します。

回答No.2

178-tall

勘定の錯乱を訂正。

たとえば、
　2*√(10^2-a^2) = (19.3-a)
から非負解を求めてみると、
　a≒8.377

これを使い、B の右下角の長方形 A の上辺からの距離を求めると？
　√(10^2-a^2) + 2a = 22.215

… 半分ほど、ハミ出し？

回答No.1

178-tall

>19.3x13(cm)の寸法の長方形に、20×10(cm)の紙を斜めで配置することはできますか？

19.3x13 (cm) の長方形 A の左上角に 20×10 (cm) の紙 B の左上角を合わせ、上角の三角形の辺比 A の上辺に沿って右へ、同時に B の左下角を A の左辺に沿って上へ、とずらしていく。B の右上角が A の右辺上に乗ったとき、B の右下角が A の上辺からどれだけ離れのか、を調べる。

B の右上角が A の右上角の右方へ a だけずらしたとき、長方形 A の左上角にできる三角形と、右上角にできる三角形とは相似形。
故に、左上角の三角形の辺比は、
　a：10：√(10^2-a^2)
右上角の三角形の辺比は
　2a：20：(19.3-a)

たとえば、
　10：√(10^2-a^2) = 20：(19.3-a)
から非負解を求めてみると、
　a≒8.377

これを使い、B の右下角の長方形 A の上辺からの距離を求めると？
　√(10^2-a^2) + 2a = 10.923
わずかながらハミ出し。