次の大学数学の問題の解答解説をお願いします。

質問

D={(x,y)|x^2-2x+2y^2≦0}におけるf(x,y)=xyの最大値は？

回答No.2

info33 · ベストアンサー

g(x,y)=x^2-2x+2y^2=(x-1)^2+2y^2 (≦0), f(x,y)=xy, L(x,y)=f(x,y)-r g(x,y)

と置いてラグランジュの未定乗数法を適用すると

∂L/∂x=∂L/∂y=g(x,y)=0 より
y-r(2x-2)=0, x-r (4y)=0, x^2-2x+2y^2=0

(r,x,y)=(0,0,0), ((√6)/4,3/2,(√6)/4), (-(√6)/4,3/2,-(√6)/4).
r = -(√6)/4 の時 極小値f(3/2,-(√6)/4) をとる
r = (√6)/4 の時 極大値f(3/2,(√6)/4) をとる。

f(x,y)が最大となる時は極大値f(3/2,(√6)/4) をとる時であるから

最大値f(3/2,(√6)/4)=(3/8)(√6) ... (Ans.)

お礼

分かりやすく解説ありがとうございました

回答No.1

noname#232123

Dは楕円内部および周囲、xy=k とおくとこのグラフは直角双曲線です。
グラフをかくと、k(>0)が最大になるのは、双曲線xy=k, (k>0)が楕円周と第一象限にて接するときです。計算にて接点を求めるも一法。
あるいは、
x=1+√(1-2y^2) をk=xy に代入して、
k=y*{1+√( )}.
dk/dy=1 + (1-4y^2)/√( ).
これから、ｋの最大値を求めるも一法です。
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※ max(xy)=(3/8)√6.