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導関数の求めかたについて
関数f(x)の導関数の求め方についてですが、 分子をf(x+h)-f(x) 分母をhとして、hを限りなく0に近づける。 計算の途中でhで除算する。これはhが限りなく0に近いが0ではないので成立する。 式の最終行の一つ前でhだけの項は0に等しいとしてhは消去する。 最終行はhを含まない式になる。 計算の途中と最後でhの扱いが違うのが理解できません。イコールではなくニアイコールなら理解できるのですが。 高校の教科書のレベル内で説明してもらえれば嬉しいです。・・・・・
- hurukame99
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- 178-tall
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>hは0に近づくから結局云々の説明ですが、0ではない項を消去して、なぜイコールが成立するのですか? >0に限りなく近い数値は、計算途中の都合しだいで、0にしたり、しなかったりしても良いということでしょうか。 「極限」の定義は,「h が 0 とは異なる値を取りつつ 0 に限りなく近づける」ことを意味し、h を 0 に近づけるだけであって,h = 0 を代入してよいとは限らない。 対象の関数が「連続」であれば、h = 0 と代入してよい。 前出の参考 URL では、 ・代入する ・約分してから代入する(そのまま代入すると分母が0の不定形になる場合) の二つのケースを例示してますネ。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
ANo.3 へ。 >参考 URL の「整式の導関数」の証明なら、どの箇所に疑問があるのでしょうか? ↓ >4行目と5行目です。5行目でhが掛かっている項とhだけの項が消えているのが分かりません。イコールならhは0ではないのにhが掛かっている項とhだけの項が消えるのはおかしい。 >hが掛かっている項とhだけの項が消えるならニアイコールではないのですか? ↓ 参考 URL
お礼
重ねての回答、恐縮です。 hは0に近づくから結局云々の説明ですが、 0ではない項を消去して、なぜイコールが成立するのですか? 0に限りなく近い数値は、計算途中の都合しだいで、0にしたり、しなかったりしても良いということでしょうか。
- jcpmutura
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高校の教科書のレベル内では説明不可能です。 大学では「hを限りなく0に近づける」等という非論理的な言葉は使いません ただし 「式の最終行の一つ前でhだけの項は0に等しいとしてhは消去する」 は誤りで あくまでhは0に近づけるのであって決して最後まで0に等しくならない lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x) と書いたとき {f(x+h)-f(x)}/hはf'(x)に限りなく近づくのであって 決して最後まで等しくなる必要はない という事はいえます。 任意の正の実数ε>0に対して ある正の実数δ>0が存在して 0<|h|<δとなる任意の数hに対して |{f(x+h)-f(x)}/h-f'(x)|<ε となる時 lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x) と書いて f'(x)をf(x)の導関数という。 f(x)=2x^3 の導関数を求める h≠0とすると {f(x+h)-f(x)}/h ={2(x+h)^3-2x^3}/h =2(x^3+3x^2+3xh^2+h^3-x^3)/h =2(3x^2+3xh+h^2) =6x^2+2h(3x+h) ↓ |[{f(x+h)-f(x)}/h]-6x^2|=2|h(3x+h)| ここで 0<|h|<δ→2|h(3x+h)|<ε となるようなδを求める 0<|h|<δの時 |3x+h|≦3|x|+|h|<3|x|+δ 2|h(3x+h)|<2δ(3|x|+δ) だから 2δ(3|x|+δ)≦ε となるようなδをみつければよい δ=min(1,ε/{2(3|x|+1)}) とすると δ≦ε/{2(3|x|+1)} δ≦1 2(3|x|+δ)≦2(3|x|+1) 2δ(3|x|+δ)≦2δ(3|x|+1)≦ε 2δ(3|x|+δ)≦ε だから 0<|h|<δの時 2|h(3x+h)|<2δ(3|x|+δ)≦ε f(x)=2x^3 の時 任意の正の実数ε>0に対して δ=min(1,ε/{2(3|x|+1)}) とすると 0<|h|<δとなる任意の数hに対して |{f(x+h)-f(x)}/h-6x^2|=|2h(3x+h)|<2δ(3|x|+δ)≦ε となるから lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)=6x^2
お礼
理解することは諦めました 日常会話の「無限」と数学用語の「無限」の違いがわからないのだと思います
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
ご質問の「意味」が把握できません。 参考 URL の「整式の導関数」の証明なら、どの箇所に疑問があるのでしょうか?
お礼
4行目と5行目です。5行目でhが掛かっている項とhだけの項が消えているのが分かりません。イコールならhは0ではないのにhが掛かっている項とhだけの項が消えるのはおかしい。hが掛かっている項とhだけの項が消えるならニアイコールではないのですか?
- kiha181-tubasa
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途中の計算で「計算の途中でhで除算する。これはhが限りなく0に近いが0ではないので成立する」は,正にその通りです。 そして導関数は,lim(f(x+h)-f(x))/h は限りなく近づいてゆく先の「的(まと)」を求めるので,h=0 の時の値がその「的」だと解釈することで納得してできませんか。
お礼
たぶん「的」はよい比喩なのでしょう 自分には理解できません
- f272
- ベストアンサー率46% (8021/17145)
1.分子をf(x+h)-f(x) 分母をhとして、hを限りなく0に近づける。 2.計算の途中でhで除算する。これはhが限りなく0に近いが0ではないので成立する。 3.式の最終行の一つ前でhだけの項は0に等しいとしてhは消去する。 4.最終行はhを含まない式になる。 このうち1.2.4.はそれでOKですが,3.は違います。hが0に等しいとするのではなく,hを限りなく0に近づけてその極限の値にするのです。 f(x)=sin(x)であれば lim((f(x+h)-f(x))/h) =lim((sin(x+h)-sin(x))/h) =lim(2sin(h/2)cos(x+h/2))/h) =lim(sin(h/2)/(h/2)*cos(x+h/2)) =lim(sin(h/2)/(h/2))*lim(cos(x+h/2)) =cos(x)
お礼
sinやcosのhの消し方は詐欺的ですw 質問をさらに要約すれば X=sin(A) ただし A→0 Y=sin(B) ただし B=0 教科書をどう読んでも、眺めても、AノットイコールBなのに、X=Yと書いてあって、これが理解できません
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