線形代数の問題です。

質問

線形代数の問題です。
どなたかお願いします🙇‍♂️

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
|A|=
|a+2,1 ,1 ,1 |
|1 ,a-4,-2 ,-2 |
|7 ,4 ,a+2,4 |
|-9 ,0 ,0 ,a-2|
=
(a-2)*
|a+2,1,1|
|1,a-4,-2|
|7,4,a+2|
+9*
|1,1,1|
|a-4,-2,-2|
|4,a+2,4|
=
(a-2)*
|a+2,0,1|
|1,a-2,-2|
|7,2-a,a+2|
+9*
|0,0,1|
|a-2,0,-2|
|0,a-2,4|
=
(a-2)*
{
(a+2)*
|a-2,-2|
|2-a,a+2|
+
|1,a-2|
|7,2-a|
}
+9(a-2)^2
=
(a-2){(a+2){(a-2)(a+2)+2(2-a)}+2-a-7(a-2)}+9(a-2)^2
=
(a-2){(a+2)(a-2)(a+2-2)+2-a-7(a-2)}+9(a-2)^2
=
(a-2){(a+2)(a-2)a+2-a-7(a-2)}+9(a-2)^2
=
(a-2)^2{(a+2)a-1-7+9}
=
(a-2)^2(a^2+2a+1)
=
(a-2)^2(a+1)^2
∴Aの行列式は
|A|=(a-2)^2(a+1)^2

(2)
a≠-1.&.a≠2の時rank(A)=4

a=-1の時
A=
(1 ,1 ,1 ,1 )
(1 ,-5,-2,-2)
(7 ,4 ,1 ,4 )
(-9,0 ,0 ,-3)
Aの3*3小行列式
|1 ,-5,-2|
|7 ,4 ,1 |
|-9,0 ,0 |
=-9*(-5+8)=-9*3=-27≠0
だから
a=-1の時rank(A)=3

a=2の時
A=
(4 ,1 ,1 ,1 )
(1 ,-2,-2,-2)
(7 ,4 ,4 ,4 )
(-9,0 ,0 ,0 )
Aの第2,第3,第4列ベクトルはすべて等しいから
Aの3*3小行列式はすべて0
Aの2*2小行列式
|7 ,4|
|-9,0|
=36≠0
だから
a=2の時rank(A)=2
∴Aの階数は
a=-1の時階数rank(A)=3
a=2の時階数rank(A)=2
a≠-1.&.a≠2の時階数rank(A)=4

お礼

ありがとうございます！！m(_ _)m