線形代数の問題です

質問

線形代数の問題です

(1) gradとrotは線形写像である

(2) Im(grad)⊃Ker(rot)

上記の2つを示さなければならないのですが、全くわかりません。

お力添えをお願いいたします。

回答No.3

alice_44

Im(grad)⊂Ker(rot) のほうは、
grad や rot が作用する対象の関数が
適当な回数微分可能であれば、成立するが、

Im(grad)⊃Ker(rot) のほうは、更に、
それら対象となる関数の定義域が単連結
であることを仮定しないと、成り立たない。

物理学で使うときには、定義域は専ら
ユークリッド空間だから、その違いは意識しないが、
数学的には、Im(grad)=Ker(rot) ではない。

回答No.2

Tacosan

本当に「全くわからない」んだとしたら, 単位はあきらめた方がいいかもしれん.
「線形写像」の定義は理解できていますか?
2つの集合 A, B はどのようなときに A ⊃ B であるのか, 式で表現できますか?

回答No.1

alice_44

(1)
grad と rot の定義に沿って、
任意の C^1 級関数 f, g とスカラー a, b に対して、
grad(af+bg) = a grad(f) + b grad(g),
rot(af+bg) = a rot(f) + b rot(g)
を計算して示すだけです。
偏微分の線型性が、ほぼそのまま、
grad, rot の線型性に引き継がれます。

(2)
Im と Ker の定義は知っていますか？
Im(grad) ⊂ Ker(rot) の間違いだと思いますが…
それでよければ、
任意の C^2 級関数 f に対して、
rot grad f = 0 であることを、計算して示すだけです。

お礼

回答ありがとうございます

Im(grad)⊃Ker(rot) で間違いありませんでした。

Im(grad)⊂Ker(rot) は別の設問で解かされました。