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線形代数の問題です
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- alice_44
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Im(grad)⊂Ker(rot) のほうは、 grad や rot が作用する対象の関数が 適当な回数微分可能であれば、成立するが、 Im(grad)⊃Ker(rot) のほうは、更に、 それら対象となる関数の定義域が単連結 であることを仮定しないと、成り立たない。 物理学で使うときには、定義域は専ら ユークリッド空間だから、その違いは意識しないが、 数学的には、Im(grad)=Ker(rot) ではない。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
本当に「全くわからない」んだとしたら, 単位はあきらめた方がいいかもしれん. 「線形写像」の定義は理解できていますか? 2つの集合 A, B はどのようなときに A ⊃ B であるのか, 式で表現できますか?
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(1) grad と rot の定義に沿って、 任意の C^1 級関数 f, g とスカラー a, b に対して、 grad(af+bg) = a grad(f) + b grad(g), rot(af+bg) = a rot(f) + b rot(g) を計算して示すだけです。 偏微分の線型性が、ほぼそのまま、 grad, rot の線型性に引き継がれます。 (2) Im と Ker の定義は知っていますか？ Im(grad) ⊂ Ker(rot) の間違いだと思いますが… それでよければ、 任意の C^2 級関数 f に対して、 rot grad f = 0 であることを、計算して示すだけです。
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お礼
回答ありがとうございます Im(grad)⊃Ker(rot) で間違いありませんでした。 Im(grad)⊂Ker(rot) は別の設問で解かされました。