こんばんは。
まず「喪失届け」ですが、これはあなたの退職(理由は一切関係ありません)に伴って会社があなたの健康保険が喪失した事を社会保険事務所(もしくは健康保険組合)に届ける為の書類です。会社がこの喪失届けを提出する際にsayapanさんの健康保険証と一緒に提出して喪失が完了します。
ですので、健康保険証を会社に返却していなければ直ちに返却した方が良いでしょう。もし返却しているのであれば会社がまだ事務手続上で進行していないだけです。
新しく国民健康保険や任意継続する場合は喪失されている(喪失届けが社会保険事務所又は健保組合に提出)事が必要になります。
任意継続する場合は退職日から20日以内に手続きをしないと一切入れません。(まだ完了していない現在は入れませんが、任意継続するつもりであれば事情を説明しておいた方が良いと思います。)
一方、国民健康保険に加入する場合は喪失しているという事の他に、退職や喪失が証明できるもの(離職票や場合によっては健康保険の喪失届けの写し)が必要になる場合がありますので、予め住所を管轄する市役所にお電話で確認をされた方が良いと思います。(各市役所等によって対応が違う場合がありますので)
余談で恐縮ですが、「解雇したのに退職願いを提出するように」というのは少しおかしいと思います。もし退職願いを出してしまうと退職理由が「会社都合」ではなく「自己都合」になってしまい雇用保険の失業給付を受ける際に不利になる可能性があると思うのですが・・・
いずれにしましても、「解雇予告手当てを支払う為に・・」というのはあり得ないと思います。
反対に解雇されたのであれば、書面で解雇の理由等を開示して貰う権利があります。
以上、参考まで。
お礼
回答ありがとうございます。 私は健康保険証は、提出したので、 会社に書面ででも、手続きをしてもろうよう、請求してみます。 やっぱり、退職願は出すべきではないですよね!