作図法２

質問

先日、同じような質問があったんですが、回答を見ていてもどうも理解できないので
改めて、質問させていただきます。
参考図の水色寸法のみを指定しての、作図を要求されることが、たまにあります。
１．CADの要素を使っての作図は出来ないですよね？
２．χを計算するには、どうすれば良いでしょうか？

χ = 200 - 50・cosθ
300・sinθ = χ・cosθ
の式が成り立つのかと思います
公式
sinθ^2 + cosθ^2 = 1
sinθ = ±√1-cosθ^2
あたりを使うのかと思うんですが、算数が苦手なもので
ご指導、よろしくお願いします。

http://dl.dropbox.com/u/332962/%E5%9B%B31.bmp

回答No.6

noname#230359 · ベストアンサー

式を記述しますと、色々あります。
例えば、
? tanθ＝Ｘ/300　、cosθ＝(200－Ｘ)/50
? 300×tanθ＋50×cosθ＝200
これを変換すると、難しいのですね。

では、三角関数を消去して、Ｘで導くようにするには、
cosθ＝300/(300^2＋Ｘ^2)^1/2　、cosθ＝(200－Ｘ)/50 にて、
cosθ＝300/(300^2＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)/50 となり、
300/(300^2＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)/50 になります。
これは、
300/(90000＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)/50　、
15000/(90000＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)
です。

図を観ますと、30°＆60°の直角三角形に近いので、Ｘ＝300/√3＝173と仮定し、
Ｘ＝150の場合と、173の場合と、195の場合で先ずは計算してみましょう。
Ｘ＝150の場合には、15000/(90000＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)
　　　　　　　　　 15000/(90000＋22500)^1/2 ＝ (200－150)
　　　　　　　　　 15000/(112500)^1/2 ＝ 50
　　　　　　　　　 15000/335.4 ＝ 50
　　　　　　　　　 44.72 ＝ 50　　となり差が 5.28
Ｘ＝173の場合には、15000/(90000＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)
　　　　　　　　　 15000/(90000＋29929)^1/2 ＝ (200－173)
　　　　　　　　　 15000/(119929)^1/2 ＝ 27
　　　　　　　　　 15000/346.3 ＝ 27
　　　　　　　　　 43.32 ＝ 27　　となり差が 16.32でしかも逆に
で差が逆になったので、急遽変更で、簡単按分でＸ＝155の場合を計算
Ｘ＝155の場合には、15000/(90000＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)
　　　　　　　　　 15000/(90000＋24025)^1/2 ＝ (200－155)
　　　　　　　　　 15000/(114025)^1/2 ＝ 45
　　　　　　　　　 15000/337.7 ＝ 45
　　　　　　　　　 44.42 ＝ 45　　となり差が 0.58
もう少し、差が0.58なので簡単按分で0.4をプラスし、Ｘ＝155.4の場合を計算
　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　・
って具合に計算していきます。

ＰＣが調子が悪くなったので、最後まで記述ができませんが、角度のθではなく、
Ｘを求めると解り易いです。
でも、作図は角度のθ換算しないと駄目ですがね。

Ｘ＝155.6159の場合には、15000/(90000＋Ｘ^2)^1/2 ＝ (200－Ｘ)
　　　　　　　　　 15000/(90000＋24216.31)^1/2 ＝ (200－155.6159)
　　　　　　　　　 15000/(114216.31)^1/2 ＝ 44.3841
　　　　　　　　　 15000/337.96 ＝ 44.3841
　　　　　　　　　 44.3840 ＝ 44.3841　　となり差が 0.0001
位にして。

以上の計算処理を、EXCELを使ってすると、簡単に数値が見い出せる内容は、

例えば、Ｘの数値をEXCEL SHEETの“A1”に記入します。最初は 150 からです。

そして、5行の1列に、＝15000/(90000＋A1^2)^(1/2)　　の計算データ処理を記入し、
5行の2列に、＝200－A1　　の計算データ処理を記入し、
5行の3列に、＝B5－A5　　の計算データ処理を記入すると、5.28　が表示されます。
(上記の計算の解が、計算ミスしていることも解ります)

後は、“A1”の数値を155等に変えていき、差が小さくなれば、その値がＸの近似値です。

以上が、他の回答者さんが記述しているEXCELの使用方法と考えてよいです。

お礼

計算式が解けないのが悔しくて、悶々としていましたが、解けなくても
しょうがないと、すっきりしました。
ありがとう、ございました。

回答No.8

noname#230359

？？？
呪縛かなあ
？？？

長方形の作図＝＞長辺と短辺
長方形の位置＝＞1点と角度　or 2点
が具体的にわからないと作図できません。

今、具体的にわからないのは、長辺またはX　と　角度です。
長辺またはXが決まれば角度も決まる。
角度が決まれば長辺とXが決まる。
ので、

この場合、
長辺またはXか角度についての方程式を作ればいい。
（とりあえず、この時点では、どれでもいい。）

χ = 200 - 50・cosθ
300・sinθ = χ・cosθ

（よく見て考える）
Xは簡単に消せるが、θを消すのは、大変。
とりあえず、Xを消す。（ご都合主義）
角度θの方程式の出来上がり。
ゴールシークを使う場合は、三角関数の変形には意味がない。あくまで変数はθ。
無用の変形は間違いの元。

解の公式があるなら、それに持ち込むための変形になる。
（貴君の持ち出した公式は、解の公式ではないことに気づいてください。）

解の公式がないなら、どの道、数値計算。余計な操作はいらない。

あとは、いわずもがな、θ計算、X算出。（回答（1）さんの言うとおり。）

追記：
解の精度について、議論があるようだが、EXCELのチューニングの話なので、あまり、気にしてはいけない。小数点以下5桁であっていればOKとしよう。
ただし、自分の使うものがどういう演算精度か確認しておきたい。
（私の演算結果もビミョーに違った。）

回答No.7

noname#230359

>２．χを計算するには、どうすれば良いでしょうか？

χ^4 - 400χ^3 + 130,000χ^2 - 36,000,000χ + 3,375,000,000 = 0
↓
χ(3) = 155.61592374 (θ = 27.41666116)

解くのが大変なので、回答(1)さん・回答(2)さんの方法が現実的と思います。

回答(1)さんへ

>θ=27.4166607062593 度　という答えが見つかって初めて作図可能となる筈だ

下8桁、半数を超える数値が違っています。
Excelの名誉のためにも、もう少し頑張られたほうが良いのでは？

お礼

すっきり、しました。
ありがとうございました。

回答No.5

noname#230359

図形として成立する寸法が与えられていて対角線が引けるんだから
設計するんではなくて作図したいだけなら

対角線の頂点に短辺長さ50を半径とする円
対角線を直径とする円
を作図しそれぞれの交点を結べば終わりではないですか？

ああ，よく見てなかったので勘違い。
対角線でなかったですね。
失礼しました。

回答No.4

noname#230359

作図法の回答を見て
＞回答を見ていてもどうも理解できない。
作図法の図を印刷して、裏から見れば今回の図と同じになるので、同様な考え方でθが計算できる。θが分かればｘが求まる。
すでに(1)～（３）さんが答えを出している。これで理解できないのであれば
具体的に分からないところを示して欲しい。
ただ、ＣＡＤとかゴールシークでの計算は、ブラックボックスに数値を入れるだけで答えが出るので、数値を入れて確認してみることが大事です。
やはり、このようなツールはアルゴリズムを理解した上で使いましょう。
私が貴方の上司だったら、どのように計算したかと聞きたくなる。
ツールを使って計算したと言うことであれば、仕事を頼むのを考える。

＞回答を見ていてもどうも理解できない。
作図法の質問で、目的が開示されていないので、作図をする意味が私も分からない。よほど暇か、学校の宿題かと思う。
　質問者さんは目的が、あると思うので目的に対してどのように計算しているか整理して自分のデータベースに残すようにしないと、半年位たってまた同じようなことで悩むようになるのでは？。（こうなったら、自分自身に腹がたつ
ようになる）
　良い設計者は疑問に思ったことを整理し、いざという時いつでも引き出せる
ようにしている。（人を上手く使える人は、得意分野の人に教えて貰っている
が）いずれにしても、このような問題で何時までも悩まないことだと思う。

もう閉じたらと思う。
（１）、（３）、（６）さんの式は同じで、難しく考えないでEXCELでA1にθの値を、B1に式の計算式を入力し、とりあえずA1＝１０を入れて、A2＝a1+10とし、B2＝B1として下側にコピーする。
するとA列は１０度置きのθ値、B列はθに相当する値が表示される。
それを続けてコピーし、Ｂ列の符号が変わるところがあるので、符号が変わった次の行のθ増分を一桁下げて加算し、それに相当する式の値が表示される。
以下符号が変わるところでθの増分をさらに一桁下げて行き、θの増分を４桁位下げればほぼ正しい答えが出ると思う。（これが前回の作図法で回答した式の値を直接計算（強引に計算）するなやり方で、微分したりすることなく計算できます。）
このやり方は、高次方程式を解く際に良く使われるニュートン・ラプソン法の
考え方に沿ったものです。
EXCELのような計算ソフトが無い時代には、このように手間が掛かるので誰もしなかったと思う。
しかし、EXCELでは素早く計算するので、このような方法も苦にならない。
さらに効率よくするのであれば、ゴールシークを使えば良い。
いずれにしても計算式の意味を理解して下さい。

回答No.3

noname#230359

χ = 200 - 50・cosθ
χ = 300・tanθ と　置き

300・tanθ+ 50・cosθ -　200　＝　0　の方が解きやすい　…　与式1

χn+1=χn - f(χn)/f'(χn) ニュートン法　一般方程式

この式に　初期値　20°位から始めれば　4～5回くらいで有効数字
５桁位は出せる　CADの拘束も　EXCELのゴールシークも　アルゴリズムは
大して変わらないと思う　ここで　面倒なのは　導関数を求める事かな

回答No.2

noname#230359

作画方法
力技
0,0を基準に

　－－－－－－－－－－○点
｜
｜
｜
　－－－－－－－－－－
50のコの時を作ります

300と200にそれぞれ水平線を引き
0,0を基準に
目視で○点を300,200に合わせます

300,200のところに小さな三角ができてると思うので
あとはそこをえいえいと納得するまで回転させてください

AUTOCAD2010以降についた
http://autocad-dimension.blogspot.jp/2009/02/blog-post_13.html寸法拘束

という機能を使えれば簡単にかけます
（ヒストリー系の３Dと同じ機能）

6軸のロボットとかの動きを検討するのに
非常に役立ちます
5軸のマシニングの治具設計とか

2Dで覚えるよりいっそ３Dにしてくれ

χ = 200 - 50・cosθ
300・sinθ = χ・cosθ
を解くと
前回私の書いた
あの式になり
あれを解くと答えが出てくるんだが
解く気力は
鬱の私にはありません

お礼

私も、今までおっしゃるような方法で、近い図形を描いていました。
３Dの幾何拘束を使えば、出来たんですね。
３Dを使えば簡単とおっしゃっていたのが分かりました。
ありがとう、ございました。

回答No.1

noname#230359

前回同様にゴールシークを使う（覚えれば、とっても便利で早い）↓URL
ものの3分も掛らないで答えは探せる。下は数式の入ったセルでコレ:C1を零に
するようなθ：B1を片っ端からPCで総当たりで探し出すのです、OneTwoThree！

C1=300*TAN(PI()*B1/180)-200+50*COS(PI()*B1/180)→θ=27.4166607062593
これも一応CADで確かめてみたのですがwバッチリ作図出来ましたＷ
EXCELのGOOLSEEKは実際に使ってみれば比較的簡単なので直ぐ覚えられますヨ

何気に回答を振り返ってみると、GOOLSEEK×GoalSeek◎でした失礼しました

kazu_i さんの言われる通り、私も何故に前回ので判らないのかが不思議です
まぁCADは使えても三角関数やEXCEL,PCを使いこなせる訳でも無いということか
設計屋であれば当たり前と言えるのであるが、逆に一人前の設計屋になるという
ことは,大変な時間と労力が必要ということになるのでしょう（御礼を待つ）

何だか・・・後から誤回答や疑問・珍回答が続々と出て来ているようですけどw
θ=27.4166607062593 度　という答えが見つかって初めて作図可能となる筈だ
X=300* Tan(27.4166607062593*PI/180)=155.615920708254・・・副産物！？

もう閉じたいw　長々と説明するのは親切では無く複雑にしているだけと思うw
そうそう私が何故に ExcelFileをそのまま公開しないかと言えば質問者自らが
実際にExcelGoalSeekで、同じように実践して欲しいから敢えて添付しないのだ

参考URL：

http://yahoo.jp/Yy2Ogi

お礼

計算で答えが出ないものかと思い、詳しく拝見していませんでした。すいません
実務では、この方法が一番実用的なようですね。
ありがとうございました。