たわみの計算式を教えて下さい

質問

下記構成の様なL型（200mm×300mm×t12)の場合、?部のたわみ量がいくらになるか計算式を教えていただきたく。　?のエッジ部にかかる上方向と横方向のたわみ量を計算したく。（材料は鉄S45Cです。）
200
　　 ┃━━━━━━━━━┃
　　 ┃　　　　　　　　　┃ 50 壁
　　 ┃　　　┃━━━━━┃
　　 ┃　　　┃
300　 ┃ｔ＝12┃
　　 ┃　　　┃
　　 ┃　　　┃
　　 ┃　　　┃　
　　 ┃━━━┃←先端部に150N(横方向) の力
　　　 　60　　?
単なる片持梁だけの計算式ではないと思いますので、計算式を教えて頂ければ助かります。

いろいろな御回答ありがとうございます。
　でも、私の表現がおかしいのか欲しい回答では無いような気がします。
追記
　・取付は、壁にt=12のスコヤのような形状のものがボルト止めされています。
　・150N方向はエアーシリンダーで押します。
　・たわみを知りたいのは、?のエッジ部がどのような位置に移動するのかを知りたいのです。
　大変申し訳ございませんが、素人にもわかるような計算式を教えていただきたく。

回答No.11

noname#230359 · ベストアンサー

皆さん、実に明快で、そのものズバリのサイトを見つけました。やりましたｖ
↓の参考サイトは信用性が高いと思う。また、私と考え方も解法も全く同じで
これならば質問者さんにも解り易いかと思う。これを参考に回答(3)と合わせて

「第55 話 簡単そうで簡単ではない曲げ問題；武蔵工業大学_教授らしい」
タイトルにあるように「簡単そうで簡単ではない」のです。従ってこのような
一見簡単そうに見える問題であっても解けない人は結構いるだろうと思うなぁ

色々な演習問題を解き応用力を養いどのような問題にも対処できるようになる
ためには社会人になってからも努力を続けないとなりません。少しでも油断を
すると人間はドンドン使わない記憶は消去するように出来ているのですから

最後に難しいものは何処が難しいのかを丁寧に分かり易く説明するのは兎も角
簡略化し過ぎたり初心者の質問だからと言って簡単な問題だと判断するような
ことがあってはならない。私自身にも言えることで常に真摯な態度で臨みたい

※これにて、一件落着にしましょうか？質問者さん？

特にコノ55話も、直接に微積分を使っている訳では無いのだから幾ら初心者と
言えども梁のたわみやたわみ角の一般式である公式集を使っての説明と回答で
私はユーさんの何倍も初心者にもかなり優しく説明がなされているように思う

何故そうまで自論に拘り鶴亀算まで持ち出してくるのか、意志が強いんだねぇ
多数決を取れば分ると思うけど、少なくとも私には非常に難解な回答だったし
今迄見たことがないような解法で独創的というのかとても抵抗感があり過ぎた

人間誰しも間違いを犯す生き物であるし、明日は我が身かも知れませんが、
常に自分の意見はもしかすると間違っているかも知れないという所があれば、
素直に人の話を聞けるし（ここ大事）新たなアイディアが生まれる可能性も

参考URL：

http://myhagisan.la.coocan.jp/zairiki/yomoyama/yomoyama1/yomoyama1.htm

回答No.20

noname#230359

回答(19)さんは回答する度に間違いを起こしますね・・・（最後にします）

スパンは170mmと275mmです。基本的な梁モデルが頭に存在していない？
回答（2)では200と250としていて、一時は訂正し、また逆戻りの170,250？
おいおい、いい加減にしろよもー。流石の私も・・・「私は雲丹になりたい」

＞色々な回答があり、解り難いでしょうが・・・以下
解り難くしているのはユーさんだけ。私達は終始ブレていない
更に使用単位も[N/mm^2]→[kgf/mm^2]へと知らない間に変わっているし
そして呆れたことに、とうとう回答(17)さんに便乗してしまったし・・・唖然

ふと気付くと何故か岩魚内さんと同じ事を言っている自分自身が居る・・・残念
もしかして、やはり貴殿自身に何か瑕疵があるのでは無いだろうか？
長々と私でさえ理解に苦しむ自論を延々と続けることだけは遠慮して欲しい

↓に基本モデル図をUPして置きました。回答（1）さんの図に同じです
回答（3）において、いち早く指摘した材料中心をスパンとするのが肝心です
ここを誤ると最後まで行ってしまうのでとても大事なので間違いは許されない

参考URL：

https://picasaweb.google.com/108465672562340757395/FIG1?authkey=Gv1sRgCJvH1vjT8unLkAE#slideshow/5800080085211804114

回答No.19

noname#230359

質問者さんへ 、

色々な回答があり、解り難いでしょうが、頑張って確認してみてください。
今は、理解できなくて公式や手順だけ覚えての計算処理も、将来必ず理解できる時がきます。
小生も、見直しができて、有意義な質問だったと考えます。

モーメントを引張や圧縮(曲げ)等の応力に公式を用いて換算して、
ア）横梁は、スパン170mmに均等に応力が加わる
イ）縦梁は、スパン250mmに根元は100％先端は0％の応力が比例配分で加わる

後は、フックの法則にて、
σ[kgf/mm^2]＝Ｅ[kgf/mm^2]×ε
σ[kgf/mm^2]；応力、Ｅ[kgf/mm^2]；比例定数(縦弾性係数)、ε；ひずみ　からなり、
σ[kgf/mm^2]＝Ｗ[kgf]÷Ａ[mm^2]　と　ε＝λ[mm]÷Ｌ[mm]　は、
Ｗ[kgf]；荷重、Ａ[mm^2]；断面積、λ[mm]；伸び又は縮み量、Ｌ[mm]；長さ又はスパン

σ[kgf/mm^2]＝Ｅ[kgf/mm^2]×ε　は、Ｅ[kgf/mm^2]＝σ[kgf/mm^2]÷ε
σ[kgf/mm^2]＝Ｗ[kgf]÷Ａ[mm^2]　と　ε＝λ[mm]÷Ｌ[mm]　なので、
Ｅ[kgf/mm^2]＝σ[kgf/mm^2]÷ε＝σ[kgf/mm^2]÷(λ[mm]÷Ｌ[mm])

λ[mm]＝σ[kgf/mm^2]÷(Ｅ[kgf/mm^2]÷Ｌ[mm])＝σ[kgf/mm^2]×Ｌ[mm]÷Ｅ[kgf/mm^2]
にて、応力からひずみ量を求め、厚みの横梁の場合は50mm、縦梁の場合は60mmの1/2
をtan計算で角度化すれば、左側に動く量が導き出せます。

基本は、やはり回答(17)さんの内容でしょうね。(小生も使用している)

回答No.18

noname#230359

私が言うのもなんだがw、 mina さんフォローありがとうございます

回答（17）さんの解法は、ひずみエネルギーを使って解くものであるが
そもそも、はりのたわみの解法は沢山あって。。。↓参考URLのように8種類も
あるんですよ。私とohkawa さんが用いたのは1.で、ソフトは、8.で解いている
ソフトを使うのは楽だが逆に精通していないと大きくミスしても気づかない

色々な解法を全て身につけていることが望ましいとも思います。また、自分が
普段から使い勝手が良いモノがどれなのかを知ることも重要かもしれませんね
好きこそモノの上手なれです。解こうと思い立つ気持ちが最も大事だと思う

ところで、質問者さんからは、その後一向に返答が無いが・・・
思った以上に難しかったのか？或いは回答者の乱舞に戸惑ってしまったか
私もこんなロングVer.になろうとは思わなかったのだが真実は見えましたか？

たわみ角法で検索している時に↓の構造力学サイトを見つけました

片持ちラーメンで柱部分に曲げモーメントが加わるモデルであることを
いち早く知らなければ素早い回答にも繋がらない。つまり公式だけでは応用が
利かないから実務になると一向に使えない代物になっていってしまうのだろう

http://wwwra.meijo-u.ac.jp/labs/ra007/murata/onlinetext/index.htm#

参考URL：

http://www17.plala.or.jp/poppy06/downloadfile/sutructure/081125beam.pdf

回答No.17

noname#230359

最後に議論に参加させて下さい。

幅60mmの中心線と幅50mmの中心線，それらの交点とでできるL字の線(中立軸)を基準に考えます。?からL字線の交点までの距離をL1=275mm，壁面からL字線の交点までの距離をL2=170mm，荷重をP=150N，ヤング率をE=206GPaとします。

また，幅60mm部分の断面二次モーメントをI1=216000mm^4，幅50mm部分の断面二次モーメントをI1=125000mm^4とすると，この時に発生するひずみエネルギーUは，

U = ∫[0→L1] {(P*x)^2/(2E*I1)}dx + ∫[0→L2] {(P*L1)^2/(2E*I2)}dx
= {(P*L1)^2/(6*E)}*{(L1/I1)+(3*L2/I2)} ・・・(1)

(1)式から，左方向のたわみδは，カスティリアノの定理より，

δ = ∂U/∂P = {P*L1^2/(3*E)}*{(L1/I1)+(3*L2/I2)}・・・(2)

(2)に数値を代入すると，δ= 0.098260mm
私の計算結果でも，98μmでした。

私は，物事の本質を理解するためには，数学の知識も必要だと思っていますので，積分を使いました。

回答No.16

noname#230359

訂正をしておりますので、確認を。

できるだけ、教本に出てくるオーソドックスな公式を引用する。

できるだけ、微分積分を使用した公式を用いない。

できるだけ、物理的な考察を用いる。

以上を、素人にもわかるような計算式として、記載しましたが判り難いかな？

経験者は、既に固定観念があるので、この計算式は解るだろうは…と考えた。

回答No.15

noname#230359

回答（12）～（13）を拝見したが・・・こちらの方こそ脳が雲丹になったw
↓参考URLのようなことをやりたかったのだろうが、曲率半径を度外視している
から回答（13）中　＞150×275mm ≒ Ｆx[N]×(1/8)×25mm この計算が
F=150*275*8/25=13200 N っと103[N]の100倍もオカシナことになるのでは？

解り易く説明した積りでいるだろうけど結局のところ私にもチンプンカンプン
です。天才の考えることは凡人の私には到底理解できないのかも知れないです
改めてユーさんの凄さを垣間見た気がします。御互いに、大変お疲れ様でした

申し訳ないがユーさんの回答には努力賞はあげたいが、回答には薦められない
よって質問者は、ここの部分を参考にすれば恐らく脳が海鞘になるであろう
やはり結論としては、回答(11)で答えの数値は回答(3)で良いと思います

また、水平部材の引張伸びも計算する(回答(11)では無視すると在ったので）
λ=AE/P/L=150*170/(12*60*205000)=1.7276E-04 mm でこれも十分無視可能だ

回答（13）を拝見しましたが、やはり私がイメージした図と同じモノだった

しかしEXCELを使って「8」という数値を引き出す意味も方法が理解できない
そもそも? Ｆx[N]×(24.5mm/25mm)×(24.5mm)・・・とFの値を全て同じにして
いるようだが御自分で図示されたように中立軸では応力はゼロつまりFは0です
従ってFの値を均一にしている時点で貴殿の理論は崩壊してしまうのでは？
それに中立軸から曲げ中心Ｒについての無関係さをどう説明されるのですか？

やはり、ノーマルに↑「真直はりの曲げ応力」のような積分の使用した説明の
方がしっくりくるし却って私には分り易いし、初心者であろうと積分は得意で
かも知れない。ある意味、偏見があって素直な回答ができないのではないか？

参考URL：

http://www.ob3.aitai.ne.jp/~kinosita/lecture/zairyourikigaku/zairikikougi(6shou).pdf

回答No.14

noname#230359

＞素人にもわかるような計算式を教えていただきたく

そんな式は存在しません

回答No.13

noname#230359

宿題説明の1/8は、

　　　　　│←　　　 　200　　　　　→│ 150N×275mm÷25mm÷2×(1/8)
　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│　＝103[N]が幅50mmの
　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│ 両側に働いているとなります　
　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│ 275mmは、250mm＋(50mm/2）にて
　↓　　　│　→　圧縮荷重103[N]　← │ (50mm/2)の中立軸に作用する　
　────┏━━━━━━━━━━━━━┫ と考えてのことです
　50　　　┃　　　　　　　　　　　　　┃ 25mmは、中立軸からの両側まで
　────┗━━━━━━━━━━━━━┫ の距離です
　↑　　　　　←　引張荷重103[N]　→　 　1/8は、抗力係数で後で説明
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 します(専用回答にて)
厚み50mmの両側に加わる引張又は圧縮最大荷重をＦx[N]としますと、
150N×275mmのモーメントが、上図横梁にくわわれば、その反力(抗力)は、50mm/2位置の
中立軸から引張側と圧縮側に其々1mm毎の分解能力で、
? Ｆx[N]×(24.5mm/25mm)×(24.5mm)
? Ｆx[N]×(23.5mm/25mm)×(23.5mm)
? Ｆx[N]×(22.5mm/25mm)×(22.5mm)
? Ｆx[N]×(21.5mm/25mm)×(21.5mm)
? Ｆx[N]×(20.5mm/25mm)×(20.5mm)
? Ｆx[N]×(19.5mm/25mm)×(19.5mm)
? Ｆx[N]×(18.5mm/25mm)×(18.5mm)
? Ｆx[N]×(17.5mm/25mm)×(17.5mm)
? Ｆx[N]×(16.5mm/25mm)×(16.5mm)
? Ｆx[N]×(15.5mm/25mm)×(15.5mm)
? Ｆx[N]×(14.5mm/25mm)×(14.5mm)
? Ｆx[N]×(13.5mm/25mm)×(13.5mm)
? Ｆx[N]×(12.5mm/25mm)×(12.5mm)
? Ｆx[N]×(11.5mm/25mm)×(11.5mm)
? Ｆx[N]×(10.5mm/25mm)×(10.5mm)
? Ｆx[N]×(9.5mm/25mm)×(9.5mm)
? Ｆx[N]×(8.5mm/25mm)×(8.5mm)
? Ｆx[N]×(7.5mm/25mm)×(7.5mm)
? Ｆx[N]×(6.5mm/25mm)×(6.5mm)
? Ｆx[N]×(5.5mm/25mm)×(5.5mm)
21 Ｆx[N]×(4.5mm/25mm)×(4.5mm)
22 Ｆx[N]×(3.5mm/25mm)×(3.5mm)
23 Ｆx[N]×(2.5mm/25mm)×(2.5mm)
24 Ｆx[N]×(1.5mm/25mm)×(1.5mm)
25 Ｆx[N]×(0.5mm/25mm)×(0.5mm)
の計算で、150N×275mmのモーメント＝?～25の総和モーメント×2(圧縮側と引張側)
150N×275mm ≒ Ｆx[N]×(1/8)×25mm と積分を使用しないで 1/8が求まります。
〈エクセル シート を使用して、変数変換コピーや総和計算をすれば、簡単に解りますよ〉

１Ｎの涙 さんの“最下段より入る”を確認しました。

そして、考え方が今回は誤っていないと感じました。

微分積分をできるだけ使用しないで、その説明を簡単にして、且つ簡単でオーソドックスな
機械工学計算式だけを用いての説明は、小生も少し頭痛がしました。

最近は手計算をしませんし、よく使用する計算はパターン化して、エクセルシートに
CADパターン図入りで、変数値を変更すれば解答が出るようにしたり、フリーソフトを
バックアップ確認用で使用したりしていましたから、頭の中だけで不用意に計算式や係数を
チョイスしたのがミス原因で、初心を大切にで反省をしております。

１Ｎの涙 さん、ohkawa さん、御免なさいでした、そして有り難うでした。

の計算で、150N×275mmのモーメント＝?～25の総和モーメント×2(圧縮側と引張側)
150N×275mm ≒ Ｆx[N]×(1/8)×25mm と積分を使用しないで 1/8が求まります。
〈エクセル シート を使用して、変数変換コピーや総和計算をすれば、簡単に解りますよ〉

↓　訂正です

の計算で、150N×275mmのモーメント＝?～25の総和モーメント×2(圧縮側と引張側)
150N×275mm ≒ Ｆx[N]×25mm×2×8 と積分を使用しないで 1/8が求まります。
〈エクセル シート を使用して、変数変換コピーや総和計算をすれば、簡単に解りますよ〉

積分を使えれば、…。
折角、専用に詳細回答したのに。
小学生に説明する鶴亀算も、ＸやＹが使えたら、と思ったことが多々あり。

質問者さんは、素読学習法で理解するしかないかな？
やはり、難しいみたいですから。

最後に、画解で示しておきます。

　　　　　　　　　　　│←　　　 　　　　　　200mm　　　　　
　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　│　　　　　　　　　→　圧縮荷重103[N]　← 　
　　　　　　　────┏━━━━━━━────→━━━━━━━━━━
　　　　　　　↑　　　┃　　　　　　│───→／　
　　　　　　　│　　　┃　　　　　　│──→／　　
　　　　　　　│　　　┃　　　　　　│─→／　
　　　　　　　│　　　┃　　　　　　│→／　　
　　　　　　　　　　　┃　　　　　　│／
　　　────50mm──╂──────＋─　　　　　　　　　　　　　
　　　↑　　　　　　　┃　　　　　／│　　
　　　│　　　│　　　┃　　　　／←│　　
　　　│　　　│　　　┃　　　／←─│　
　　　│　　　│　　　┃　　／←──│　　
　　　│　　　↓　　　┃　／←───│　　
　　　│　　　────┗━←────━━━━━━━━━━━━━━━━
　　　│　　　　　　　　　　　　　　　　　←　引張荷重103[N]　→　 　
　　　│
　　　│
　　275mm
　　　│
　　　│
　　　│
　　　│
　　　│
　　　↓　　　
　　　────────────────　←先端部に150N(横方向) の力

を、─→ 1mm毎の段差(分解能又は能力)にして、

の計算で、150N×275mmのモーメント＝?～25の総和モーメント×2(圧縮側と引張側)
150N×275mm ≒ Ｆx[N]×25mm×2×8 と積分を使用しないで 1/8が求まります。
〈エクセル シート を使用して、変数変換コピーや総和計算をすれば、簡単に解りますよ〉

そして、Ｆx[N]＝103[N]となります。

回答No.12

noname#230359

> 素人にもわかるような計算式を教えていただきたく
なので普段用いない考察をして、誤った計算式を引用しておりました。
以下に、訂正をします。

先ず、自重による撓みは、かなり微小なので考えないことにします。

【縦柱の梁撓み量計算をします】
　────┏━━┓　　　　　　　　　　　
　↑　　　┃　　┃　　　　　　　　　　　 　
　　　　　┃　　┃　　　　　　　　　　　 　
　　　　　┃　　┃　
　　　　　┃　　┃　
　　　　　┃　　┃　
　250 　→┃ 60 ┃←　
　　　　　┃　　┃　
　　　　　┃　　┃　
　　　　　┃　　┃　
　　　　　┃　　┃　
　↓　　　┃　　┃　
　────┗━━┛←先端部に150N(横方向) の力

150[N] ⇒ 15.3[kgf]集中荷重条件で、
δmax[mm]＝α×(Ｗ×Ｌ^3)÷(Ｅ×Ｉ)＝1/3×{15.3[kgf]×(250[mm])^3}
÷{2.1×10^4[kgf/mm^2]×1/12×12[mm]×(60[mm])^3}＝0.018[mm]＝18[μm]
図の左側に動きます。

【横梁へ与える引張と圧縮荷重＝曲げ荷重からの撓み角＆量計算をします】

　　　　　│←　　　 　200　　　　　→│ 150N×275mm÷25mm÷2×(1/8)
　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│　＝103[N]が幅50mmの
　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│ 両側に働いているとなります　
　　　　　│　　　　　　　　　　　　　│ 275mmは、250mm＋(50mm/2）にて
　↓　　　│　→　圧縮荷重103[N]　← │ (50mm/2)の中立軸に作用する　
　────┏━━━━━━━━━━━━━┫ と考えてのことです
　50　　　┃　　　　　　　　　　　　　┃ 25mmは、中立軸からの両側まで
　────┗━━━━━━━━━━━━━┫ の距離です
　↑　　　　　←　引張荷重103[N]　→　 　1/8は、抗力係数で後で説明
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 します(専用回答にて)

Max引張＆圧縮荷重103[N] ⇒ 10.5[kgf]で、板幅がｔ＝12[mm]なので、
板幅1[mm]当たりでは、10.5[kgf]÷12[mm]＝0.876[kgf]掛かっている状態です。
(これは、0.876[kgf/mm^2]の応力が掛かっていると同じことになります)

その荷重が掛かるスパン170[mm]の歪み量は、
フックの法則にて、σ[kgf/mm^2]＝Ｅ[kgf/mm^2]×ε
σ[kgf/mm^2]；応力、Ｅ[kgf/mm^2]；比例定数(縦弾性係数)、ε；ひずみ　からなり、
σ[kgf/mm^2]＝Ｗ[kgf]÷Ａ[mm^2]　と　ε＝λ[mm]÷Ｌ[mm]　は、
Ｗ[kgf]；荷重、Ａ[mm^2]；断面積、λ[mm]；伸び又は縮み量、Ｌ[mm]；長さ又はスパン

σ[kgf/mm^2]＝Ｅ[kgf/mm^2]×ε　は、Ｅ[kgf/mm^2]＝σ[kgf/mm^2]÷ε
σ[kgf/mm^2]＝Ｗ[kgf]÷Ａ[mm^2]　と　ε＝λ[mm]÷Ｌ[mm]　なので、
Ｅ[kgf/mm^2]＝σ[kgf/mm^2]÷ε＝σ[kgf/mm^2]÷(λ[mm]÷Ｌ[mm])
λ[mm]＝σ[kgf/mm^2]÷(Ｅ[kgf/mm^2]÷Ｌ[mm])＝σ[kgf/mm^2]×Ｌ[mm]÷Ｅ[kgf/mm^2]
λ[mm]＝σ[kgf/mm^2]×Ｌ[mm]÷Ｅ[kgf/mm^2]　との計算式となります。

そして、厚み50mmの両側に 0.876[kgf/mm^2]の応力、スパン170[mm]条件のひずみ量は、
λ[mm]＝σ[kgf/mm^2]×Ｌ[mm]÷Ｅ[kgf/mm^2]＝0.876[kgf/mm^2]×170[mm]÷21000[kgf/mm^2]
＝0.00709[mm]となり、中立軸から25mm下側が図の左へ0.00709[mm]動くとなります。

しかし、150[N]が掛かるポイントは、中立軸からは250mm＋(50mm/2)＝275mmなので、
0.00709[mm]×(275[mm]÷25[mm])＝0.078[mm]図の左側に 150[N]が掛かるポイントが動く
となります。

0.078[mm]＋0.018[mm]＝0.096[mm]図の左側に動くとの結論になります。
96[μm]です。

元首相の鳩山宇宙人みたいになりそうだった。
助かった。

回答No.10

noname#230359

１Ｎの涙 さん（ohkawa さん）　御免なさい。
最終の150N の 横梁応力換算に誤りがありました。
判り易くしたのですが、集中荷重に置き換えたのは拙かったです。
応力は均一でないので、均一に応力が掛かって歪む手法に変更が必要です。
少し、考え直して再投稿します。
指摘ありがとうございます。
初心者に判り易く投稿することは難しいですね。
では、失礼。