円板のひずみｴﾈﾙｷﾞの計算方法

質問

周縁支持　もしくは　周縁固定
の円板に、等分布荷重が付加されたものを想定しています。
このときの円板のひずみｴﾈﾙｷﾞを求める
公式を探しています。

梁の場合は、たとえば曲げモーメントMが付加された場合

1/（２・E・I）×（M^2の積分）

と容易に求められます。（初歩的な参考書にも必ず載ってます。）

しかしながら、板に関する文献が探しきれません。
ご存知の方は、教えてください。

回答No.2

noname#230359

ご存知かも知れませんが，円板の応力とひずみ(最大値)の公式を紹介してい
るサイトをお知らせします。外力を受ける部位の応力とひずみの総和から
ひずみエネルギーは　u＝∫σdε　で与えられます。

参考URL：

http://ebw.eng-book.com/heishin/vfs/calculation/DiskMaximumStressAndDeflection/

回答No.1

noname#230359

＞梁の場合は、たとえば曲げモーメントMが付加された場合
＞1/（２・E・I）×（M^2の積分）
＞と容易に求められます。（初歩的な参考書にも必ず載ってます。）

確かにそうですね，その通りです。でも，なぜ「容易」なのでしょうか？
たぶんそれは，「参考書にも必ず載ってる」からだと思います。式が載ってるから，それを見て電卓を弾けば答えが出て来るからです。

では，なぜはりのひずみエネルギーが「1/（２・E・I）×（M^2の積分）」で表されるのでしょうか？　どうやって導出されるのでしょうか？　これがわかれば，きっとはりでなくても，円板でも何とか頑張れば(場合によっては積分の数値計算も必要かも)導出できると思いますが，いかがでしょうか？　もう一度お持ちの教科書をご覧になれば，計算方法が思い付くかも知れませんよ。

まず，ひずみエネルギー密度uは，

　　u ＝ Eε^2 / 2 (引張・圧縮)
　　＝ Gγ^2 / 2 (せん断・ねじり)

ですよね，これに微小体積を掛けて全体で積分したものが，その物体に蓄えられるひずみエネルギーになりますよね？

この「定義」を理解されていれば，きっと計算できるはずです。

お礼

ありがたい、ご回答ですが、
私自身が、浅学凡才であるため、
本質問箱を利用させて頂いているという主旨が
理解されていないようで、残念です。

梁の場合
引張の場合は微少要素ｄｘに蓄えられる弾性ひずみｴﾈﾙｷﾞｄUは
微少変位をdu として
　　ｄU＝1/2×F×du=F^2/(2EA)×dx
これを　ｘ方向に積分。
曲げでは　同様にdx　の　dUは、微少変位角をｄφとして
　　ｄU=1/2×M×ｄφ=M^2/(2EI)×dx
　　これを　x方向に積分

あるテキストには梁のEIに相当するのが
板ではD（＝Eh^3/12(1-ν^2))であるとの記述をみつけました。
　（次元は[N・ｍ]になります。）
Mr,Mθがｒの関数で求められています。
（単位長さあたりのモーメントなので、　
　次元は[Nm/m]すなわち[N]）
ので、
1/(2・D)×（Mr^2+Mθ^2）の積分
として求めました。
なお、ここで積分とは　r・dr・dθ とした面積積分です。

なんとなく自信がありませんが、
この計算でいかがでしょうか。