T＝I*（２πN/60）*（1/t）の証明をお願…

質問

T＝I*（２πN/60）*（1/t）の証明をお願いします。

過去の資料に次の様な式があります。
（イナーシャIの物体を、回転数ゼロからNまで加速するのにｔ秒掛かった場合のトルクはT）
どうしてこの考え方が成り立つのかが良く判りません。
又、どうすればイコールを挟んだ左右の単位が同じになるのでしょうか？

T＝I*（２πN/60）*（1/t）

T：トルク（Nm）
I：イナーシャ（ｋｇ*ｍ^2）
N：回転数（rpm）
ｔ：時間（sec）
２πN/60：角速度（ω）

申し訳有りませんが、アドバイスお願いします。

回答No.4

noname#230359 · ベストアンサー

回答（３）の者です。証明の内容は少し判り難かったでしょうか？
証明に出てくる内容に類似している直線運動と回転運動の動力計算
があります。直線運動の動力計算はP(kW)＝F(kg)× v (m/sec)÷102
動力；P(kW)、作用する力；F(kg)、速度；v (m/sec)　　　と、
回転運動の動力計算はP(kW)＝2×π×N(rpm)×T(kg･m)÷(102×60)
動力；P(kW)、回転数；N(rpm)、トルク；T(kg･m)　　　です。それなら、
F(kg)× v (m/sec)÷102＝2×π×N(rpm)×T(kg･m)÷(102×60)が
証明できなければいけません。その証明は、先ず、トルクT(kg･m)から
確認すると 作用する力；F(kg)×半径(m)となります。
次に、2×π×半径(m)＝円周長さ（m）となり、それに回転数N(rpm)を
掛けますと、円周長さ（m）×1分（min）当たり何周したかで、1分（min）
当たり進んだ距離<速度m/min>となります。
最後に、1分（min）当たり進んだ距離÷60(min/sec）で速度v (m/sec)
となり、結局 F(kg)× v (m/sec)÷102の式になります。

後は、回答（２）の中段記述の内容で、速度v (m/sec)÷時間(sec)は
加速度(m/sec^2)。慣性質量(kg)×加速度(m/sec^2)はkgf で、作用
する力 F(kg)となります。
多分、角速度 ２πN/60の単位を(rad/sec)と観ているので？？？？
となっていると考えます。直線運動に変換する定数、その逆の回転
運動にした時の定数と観て、単位を考えないのも良しです。

以上を、回答（２）に付け足すと、判り易くなったかな？

学生時代に、公式を覚えるために使用した内容を証明に用いました。
できるだけ、覚える公式を少なくして、且つ曖昧な公式は、類似公式
から展開して覚える様に心掛けた結果、最近、多方面で役立つ事が
多いです。仕事のダブルチェック等々で。
でも、公式をそのまま使用せずに、疑問を投げ掛ける貴殿の姿勢は、
小生の若い頃に似て、……です。

ある程度納得したら、この質問を閉じましょう。

お礼

お世話になります。
丁寧に補足説明まで頂き有難う御座います。
流れで説明して頂くことで、確かに単位が成立する事が理解出来ました。
しかし、自分の物になっていないので．．．この週末に力学の教科書を実家に取りに行って来ました。もう少し勉強して自分の物にします。

学生時代にラディアンの概念に関して曖昧なまま流してしまった事を後悔します。

有難う御座います。
公式をピンポイントで覚えるのではなく、関連付ける様心がけます。

参考になる助言有難うございました。

回答No.3

noname#230359

T[N･m]＝I[kg･m^2]×（２πN/60）[rad/sec]×（1/t）[1/sec] の
左辺と右辺の単位が同じになるのかですね。
さて、先ず、それぞれの分析を先ず行ないます。
? トルク；T[N･m]は、力[N]×半径[m]です。
? イナーシャ；I[kg･m^2]は、慣性質量[kg]×半径[m]×半径[m]です。
? 角速度；２πN/60 [rad/sec]です。
? （1/t）[1/sec]は時間の単位である秒（sec）で割る（÷）意味です。
これで、もう気付きましたか。
次に、T[N･m]＝I[kg･m^2]×（２πN/60）[rad/sec]×（1/t）[1/sec] の
右辺を観ますと、角速度[rad/sec]×[1/sec] ⇒ 角速度[rad/sec]÷[sec]
となり、その結果は角加速度[rad/sec2]となります。
そして、イナーシャ；I[kg･m^2]は、慣性質量[kg]×半径[m]×半径[m]
ですから、慣性質量[kg]に加速度を掛けると力[N]となります。
すると、力[N]×半径[m]×半径[m] で、半径[m] が余分で…？？？
これは、角速度[rad/sec]や角加速度[rad/sec2]には、長さの単位が無く
実際の速度や加速度には、変換ができません。因って、角速度２πN/60に
半径[m] を掛けますと、２πN/60×半径[m]となり、２π×半径[m]は円周
長さ、残りの ×N（rpm）は1分間に何周したかで1分間の距離がでて、
最後の残りの /60（÷60）は、1秒（sec）間の距離となります。
纏めますと、
◆ 角速度[rad/sec]×半径[m]は、速度[m/sec]
◇ 角加速度[rad/sec2]×半径[m]は、加速度[m/sec]
となりますので、
（慣性質量[kg]×半径[m]×半径[m] ）× 角加速度[rad/sec2]は
（慣性質量[kg]×半径[m] ）× 加速度[m/sec2]となり、
力[N]×半径[m] となります。これは、?で示しますトルクの事です。

関係資料は、URLを参照願います。
また、回答（２）さんの着眼点はGoodでした。

参考URL：

http://home.catv.ne.jp/hh/toku/jdsgn/inertia/inertia.htm http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%

回答No.2

noname#230359

この場合，
「２π」が，「半径１の円の周長」を意味しており，長さの次元を持ちます．

・・・おっと間違えた．すんません，無視してください．

回答No.1

noname#230359

トルクT（Nm）は　T＝Iωd　で表されます。
この式の証明は力学の本を見てください。（トルク＝イナーシャ×角加速度　加速度オメガドットが書けませんのでωdにします。）
力　F＝ma（質量×加速度）と同じ様な感じでしょうか。
ここで角加速度ωdは　　
ｔ秒間にN/60rpsまで立ち上がり、1回転が2πradですから
ωd＝２πN/60*t　（rad/sec^2）となります。

左右の単位について
T(Nm)＝I（Kg･m^2）ω（rad/sec^2）
ここでニュートンNは、Kg･m/sec^2
radが残りますが、単位系ではないと思いました。

お礼

お世話になります。
単位の件はどうにか理解できました。
もう少し勉強しなおす為、アドバイスどおり力学の教科書を実家に取りに行って来ました。