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周期函数ではない ことの証明
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- jcpmutura
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訂正します √2が整数でないから矛盾するのではなく√2が無理数だから矛盾するでした √(7/3)が整数でないから矛盾するのではなく√(7/3)が無理数だから矛盾するでした f(t)=sin(t/√2)+sin(t/3) が周期p>0の周期関数だと仮定すると 任意の実数tに対して f(t)=f(t+p) sin(t/√2)+sin(t/3)=sin{(t+p)/√2}+sin{(t+p)/3}…(1) が成り立つ (1)にt=0を代入すると 0=sin(p/√2)+sin(p/3)…(2) (1)にt=3π/2を代入すると sin{3π/(2√2)}+1=sin{(3π/2+p)/√2}+cos(p/3)…(3) (1)にt=-p+3π/2を代入すると sin{(-p+3π/2)/√2}+cos(p/3)=sin{3π/(2√2)}+1…(4) (3)=(4)だから sin{(3π/2+p)/√2}=sin{(-p+3π/2)/√2} sin{(3π/2+p)/√2}-sin{(-p+3π/2)/√2}=0 2cos{3π/(2√2)}sin(p/√2)=0 ↓cos{3π/(2√2)}≠0だから sin(p/√2)=0…(5) p/√2=nπ p=nπ√2…(6) (5)を(2)に代入して sin(p/3)=0 p/3=mπ p=3mπ…(7) (6)=(7)だから nπ√2=3mπ n√2=3m p>0だから(6)からn>0だから両辺をnで割ると √2=3m/n 右辺は有理数だから既約分数で表されるから 3mとnは互いに素として両辺を2乗すると 2=9m^2/n^2 2n^2=9m^2 mは2の倍数だからm=2kとなる整数kがある 2n^2=36k^2 n^2=2*9k^2 nも2の倍数となって,3mとnは互いに素に矛盾するから f(t)は周期関数でない g(t)=3sin(t/√7)+5sin(t/√3) が周期p>0の周期関数だと仮定すると 任意の実数tに対して g(t)=g(t+p) 3sin(t/√7)+5sin(t/√3)=3sin{(t+p)/√7}+5sin{(t+p)/√3}…(1) が成り立つ (1)にt=0を代入すると 0=3sin(p/√7)+5sin(p/√3)…(2) (1)にt=(π√7)/2を代入すると 3+5sin{(π√7)/(2√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}…(3) (1)にt=-p+(π√7)/2を代入すると 3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=3+5sin{(π√7)/(2/√3)}…(4) (3)=(4)だから 3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)} 5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)} sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)} sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}-sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=0 2cos{(π√7)/(2√3)}sin(p/√3)=0 ↓cos{(π√7)/(2√3)}≠0だから sin(p/√3)=0…(5) p/√3=nπ p=nπ√3…(6) (5)を(2)に代入して 3sin(p/√7)=0 sin(p/√7)=0 p/√7=mπ p=mπ√7…(7) (6)=(7)だから nπ√3=mπ√7 n√3=m√7 p>0だから(7)からm>0だからm√3>0だから両辺をm√3で割ると n/m=√(7/3) 左辺は有理数だから既約分数で表されるから nとmは互いに素として両辺を2乗すると n^2/m^2=7/3 3n^2=7m^2 mは3の倍数だからm=3kとなる整数kがある 3n^2=63k^2 n^2=3*7k^2 nも3の倍数だからnとmは互いに素に矛盾するから g(t)は周期関数でない
- jcpmutura
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f(x)=sinx+sin{(√2)x} が周期p>0の周期関数だと仮定した場合は x=π/2の時sinx=sin(π/2)=1 x=-p+π/2の時sin(x+p)=sin(π/2)=1 とするため x=0,π/2,-p+π/2 を代入すればよいので f(t)=sin(t/√2)+sin(t/3) の場合は t=3π/2の時sin(t/3)=sin(π/2)=1 t=-p+3π/2の時sin{(t+p)/3}=sin(π/2)=1 とするため t=0,3π/2,-p+3π/2 を代入します g(t)=3sin(t/√7)+5sin(t/√3) の場合は t=(π√7)/2の時sin(t/√7)=sin(π/2)=1 t=-p+(π√7)/2の時sin{(t+p)/√7}=sin(π/2)=1 とするため t=0,(π√7)/2,-p+(π√7)/2 を代入します f(t)=sin(t/√2)+sin(t/3) が周期p>0の周期関数だと仮定すると 任意の実数tに対して f(t)=f(t+p) sin(t/√2)+sin(t/3)=sin{(t+p)/√2}+sin{(t+p)/3}…(1) が成り立つ (1)にt=0を代入すると 0=sin(p/√2)+sin(p/3)…(2) (1)にt=3π/2を代入すると sin{3π/(2√2)}+1=sin{(3π/2+p)/√2}+cos(p/3)…(3) (1)にt=-p+3π/2を代入すると sin{(-p+3π/2)/√2}+cos(p/3)=sin{3π/(2√2)}+1…(4) (3)=(4)だから sin{(3π/2+p)/√2}=sin{(-p+3π/2)/√2} sin{(3π/2+p)/√2}-sin{(-p+3π/2)/√2}=0 2cos{3π/(2√2)}sin(p/√2)=0 ↓cos{3π/(2√2)}≠0だから sin(p/√2)=0…(5) p/√2=nπ p=nπ√2…(6) (5)を(2)に代入して sin(p/3)=0 p/3=mπ p=3mπ…(7) (6)=(7)だから nπ√2=3mπ n√2=3m n,mは整数で√2は整数でないから n=m=0 だから(6)(7)から p=0となるからp>0に矛盾するから f(t)は周期関数でない g(t)=3sin(t/√7)+5sin(t/√3) が周期p>0の周期関数だと仮定すると 任意の実数tに対して g(t)=g(t+p) 3sin(t/√7)+5sin(t/√3)=3sin{(t+p)/√7}+5sin{(t+p)/√3}…(1) が成り立つ (1)にt=0を代入すると 0=3sin(p/√7)+5sin(p/√3)…(2) (1)にt=(π√7)/2を代入すると 3+5sin{(π√7)/(2√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}…(3) (1)にt=-p+(π√7)/2を代入すると 3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=3+5sin{(π√7)/(2/√3)}…(4) (3)=(4)だから 3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=3cos(p/√7)+5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)} 5sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=5sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)} sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}=sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)} sin{(π√7)/(2√3)+(p/√3)}-sin{(π√7)/(2√3)-(p/√3)}=0 2cos{(π√7)/(2√3)}sin(p/√3)=0 ↓cos{(π√7)/(2√3)}≠0だから sin(p/√3)=0…(5) p/√3=nπ p=nπ√3…(6) (5)を(2)に代入して 3sin(p/√7)=0 sin(p/√7)=0 p/√7=mπ p=mπ√7…(7) (6)=(7)だから nπ√3=mπ√7 n√3=m√7 n=m√(7/3) n,mは整数で 1<√(7/3)<2だから√(7/3)は整数でないから n=m=0 だから(6)(7)から p=0となるからp>0に矛盾するから g(t)は周期関数でない
- 178-tall
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たとえば、 ↓ 参考 URL など。
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