数3 曲線で囲まれた部分の面積S

質問

曲線で囲まれた部分の面積S を求めよ。

3x^2+5y^2=15　

という問題があるのですが、
特に積分区間がどうして0から√5になるかを具体的に説明しながら解法を教えていただきたいです。お願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

3x^2+5y^2=15 …（１）で表される曲線は下のグラフのような楕円になります。

積分区間は「０から√5まで」でなければならないということはありません。
「ー√5から√5まで」でも、もちろん面積は求められます。

ただし楕円は長軸（x軸）と短軸(y軸）に対して対称だから、全体の面積は下のグラフの色を付けた部分の４倍であることは明らかです。

そこでなるべく計算が楽で誤りが少ないように、
（１）を変形したy=(√(3/5))・√(5-x^2)…（２）について
「０から√5まで」積分した値を4倍しているのです。

なお、（２）でx^2の係数をくくり出して、ルートの中を(5-x^2)にしているのも
計算の便宜のためです。（y=√(5-x^2)は半径√5の半円、つまりx^2＋y^2＝5で表される円の上半部を表しています）

お礼

ありがとうございます、解決しました！

回答No.2

asuncion

3x^2 + 5y^2 = 15, 5y^2 = 15 - 3x^2, y^2 = (3/5)・(5 - x^2), y = ±(√(3/5))・√(5 - x^2)
第1象限ではy > 0であるから、y = (√(3/5))・√(5 - x^2)
この楕円はx軸およびy軸について対称だから、求める面積をSとおくと
S = 4∫[0→√5](√(3/5))・√(5 - x^2)dx
= 4・(√(3/5))∫[0→√5]√(5 - x^2)dx
ここで、∫[0→√5]√(5 - x^2)dxは半径√5の円の面積の1/4であるから、
∫[0→√5]√(5 - x^2)dx = (1/4)・π・(√5)^2 = 5π/4
よってS = 4・(√(3/5))・5π/4 = π√15

お礼

ありがとうございました!

回答No.1

info33

S= ∫∫[D] dxdy=∫∫[3x^2+5y^2<=15] dxdy
=4*∫∫[3x^2+5y^2<=15, x>=0,y>=0] dxdy
=4*∫∫[3x^2/5+y^2<=3, x>=0,y>=0] dxdy
=4*∫∫[y^2<=3(1-x^2/5), x>=0,y>=0] dxdy
=4*∫∫[0<=y<=sqrt(3(1-x^2/5)), 0<=1-x^2/5<=1] dxdy
=4*∫∫[0<=y<=sqrt(3(1-x^2/5)), 0<=x<=sqrt(5)] dxdy
=4*∫[0<=x<=sqrt(5)] { ∫[0, sqrt(3(1-x^2/5)] dy} dx
=4*∫[0,sqrt(5)] sqrt(3(1-x^2/5)) dx

x=sqrt(5) sin(t) 置換積分, dx=sqrt(5) cos(t) dt, x:0~sqrt(5) ⇒ t:0~π/2.

S=4*sqrt(3) ∫[0,π/2] sqrt(1-(sint)^2) sqrt(5) cost dt
=4*sqrt(15) ∫[0, π/2] cost cost dt
=2*sqrt(15) ∫[0, π/2)] (1+cos(2t)) dt
=2*sqrt(15) { [t+(1/2)sin(2t)] [0, π/2] }
=2*sqrt(15) {π/2+(1/2)sin(π)}
=π*sqrt(15) ... (Ans.)

お礼

tへの置き換えからの感じですね！
ありがとうございました!