以下の数学の問題の解き方が分かる方教えてください

質問

【問題】　
「3つの箱があり、1つに景品が入っていて、残り2つは空箱である。
解答者が1つの箱を選ぶと、どの箱が当たりかを知っている出題者が、
残った2つの箱のうち空箱を開けて見せ、箱を取り換えてもいいという。
取り換えたほうがいいだろうか。」

答えは「取り換えた方がいい」ということですが、
なぜ、取り換えた方がよいのか、
以下の解答を何度読み直してもよく理解できません。
(取り換えると確率が2/3になるなんて本当に正しいのでしょうか?)

出題者が、空箱を開けて見せて箱を取り換えてもいいと言った時点で、
3つから1つを当てるという問題はいったん取り下げられて、
2つから1つを当てるという新しい問題に置き換えられたと考えられるので、
「取り換えない取り換える」という行為は、
「2つのうちの一方を選ぶか他方を選ぶか」という行為と同じ意味になり、
「一方を選ぶか」か「他方を選ぶか」の確率はどちらも同じ1/2なので、
取り換えなくても取り換えても確率は同じように思えるのですが、
この考え方のどこが間違っているのでしょうか。

この数学の問題の解き方を分かりやすく説明できる方
おられましたら教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

次のように考えると、取り換えた場合にあたる確率が2/3になることがわかります。まず最初に選んだ箱が当たる確率が1/3で、空の確率が2/3であることはいいですね。

（１）最初に選んだ箱が当たっていた場合【確率1/3】、残った箱は2つとも空で出題者はそのうちの一つを開けたのですから、残った1つの箱は空です。この場合は取り換えれば必ず空箱を得ることになります。当たる確率は0です。

（２）最初に選んだ箱が空の場合【確率2/3】、残った箱のうち1つが当たりで1つが空です。出題者はそのうちの空の方を開けて見せたのだから残った一つの箱は必ず当たりです。取り換えた場合必ず当たります。当たる確率は１です。

したがって取り換えた場合の当たる確率は（１）と（２）を合わせて考えると1/3×0+2/3×1=2/3

>出題者が、空箱を開けて見せて箱を取り換えてもいいと言った時点で、3つから1つを当てるという問題はいったん取り下げられて、2つから1つを当てるという新らしい問題に置き換えられたと考えられる

そうではなく、「空箱を開けて見せて箱を取り換えてもいいと言った時点で」、「2つの箱から1つを選ぶ単純な問題」ではなくなり、「取り換えるか」「取り換えないか」を選ぶ新しい問題に置き換えられたのです。

上で説明したように、取り換えた場合には（１）の場合には「必ずはずれ」、（２）の場合には「必ず当たり」で、総合的な当たる確率は2/3です。

取り換えなかった場合には、逆に(１）の場合は「必ず当たり」（２）の場合には「必ずはずれ」で、総合的に当たる確率は1/3です。

そして比較(選択）すべきなのは2つの箱のうちのどちらかではなく、「取り換える」か「取り換えない」かなのです。

お礼

具体的な計算式を示して頂けたので理解できました。
とても分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.4

staratras

No.1&2です。箱の数が3個の場合について最初に選んだ箱の当たりはずれの場合分けをせずに、次のように考えることもできます。

まず最初に選んだ箱が当たりの確率は1/3で、残りの2/3は最初に選ばなかった2つの箱に当たりが含まれている確率です。

当たりがどこに入っているかわかっている出題者が空の箱を開けてくれたのは、最初に選ばなかった2つの箱を1つに減らしてしてくれたことになりますが、当たりが含まれている確率はもちろん2/3のままです。

最初に選んだ箱のままにして確率1/3を選択するのと、選んだ箱を取り換えて確率2/3を選択するのでは、当然後者の方が確率が高くなります。

お礼

質問する前までは、取り替えても取り換えなくても同じように感じられ、
確率も1/2よりも高い2/3になるなんて変に感じていましたが
質問して正しい考え方が理解できてよかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

O-ji-chan

この解説文だと非常にわかりにくいですね。
といっても自分の説明が分かりやすくなるかも微妙ですが(´・ω・｀)

ちょっと四捨五入の%で説明してみます。

A・B・Cから回答者が1つ選択します（仮にA）この時点で正解率が33％です。
ここでBとCを一括りに考えた時に、こちらの正解率が66％になります。
となればAとBCのどちらを選びますかとなれば、率の高いBCの方になりますね。（ココらへんが3分の2とかの説明になるのかな？）
ということでA残留だと確率はそのままの33％で、選択しなおしたほうが66％を獲得できる計算になります。

残ったB・Cのどちらかだと同じ33％もしくは50％と錯覚しがちですが、
出題者がハズレを一度ひくというアクションが肝になりますね。

お礼

出題者がハズレを一度ひくというアクションが肝
の部分がまだ理解できていませんが
時間をかけて理解していきたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

staratras

これを一般化して考えて箱の数をｎ個とすると次のようになり、n≧4の場合も取り換えた場合の方が当たる確率は高くなります。まず最初に選んだ箱が当たる確率が1/nで、空の確率が(n-1)/nです。

（１）最初に選んだ箱が当たっていた場合【確率1/n】、残った(n-1)個の箱は全部空で出題者はそのうちの一つを開けたのですから、残りの箱も空です。この場合は取り換えれば必ず空箱を得ることになりますので当たる確率は0です。

（２）最初に選んだ箱が空の場合【確率(n-1)/n】、残った(n-1)個の箱のうち1つが当たりで、そのほかの(n-2)個が空です。出題者はそのうちの空の方を開けて見せたのだから残った(n-2)個の箱のうちの1つが当たりです。取り換えた場合の当たる確率は1/(n-2)です。

したがって取り換えた場合の当たる確率は（１）と（２）を合わせて考えると
1/n×0+(n-1)/n×1/(n-2)=(n-1)/(n(n-2))=(1/n)×(n-1)/(n-2)>n/1

ご質問の問題はn=3の場合です。

お礼

4個以上の場合も取り換えた方がよいことが分かりました。
ありがとうございました。