タイトル: 0.999...=1 を証明せよ、に

質問

タイトル: 0.999...=1 を証明せよ、に思うこと

ネット検索してみると、イコールだ、違う！と論争が沢山あってビックリしてます。
皆さんは、またかよ、と思っているかもしれませんし、私が知らないだけで、解決したのかもしれません。ある雑誌でつい見かけてしまったので...
以下２つのケースで考えてみました。

そこで３つ教えて下さい。
１つ、世に決着が既にあるなら、決着した、とだけ教えて下さい。きっと高度な数学理論が並びそうなので。
２つ、まだなら、ひとまず、間違いは以下のどの行かだけ、教えて下さい。再考します。
３つ、1=0.999...は生徒たちもイコールだという認識に教育されているのですか？(はいか、いいえ だけで)

なお以下は、10倍すると...など端折って、式だけです。

ケース1
まずは全体像を見せます。
x = 0.999... とする
10(x) = 10(0.999...) ★
10(x) -x = 10(0.999...)-1(0.999...)
x(10-1) = (0.999...)(10-1)
x = 0.999...
∴ 0.999... = 0.999...

コメントと結論
各行に x = 0.999... がそのままかわらずにある。これは、循環小数をもつ数の四則計算を避けた。
その結果、0.999...=1 にはならない

元は
10倍してx = 0.999... を引く
10x -x = (9.999...) - (0.999...) ▲
9x = 9
0.999... = 1
である

トリックはどちらのケースも、両辺を10倍しておきながら、両辺から(自身)を引くこと。つまり、両辺を9倍しただけで堂々めぐり。

違いは、★の10(0.999...)と、
▲の行の右辺の(9.999...)。
これが分かれ目。
★はかけた数を出していない！
ので、タイトルの0.999...=1 にはならない。
———————————-
ケース2
元は
1/3 = 0.333... のとき
3x 1/3 = 3 x 0.333...
1 = 0.999... ▪️

ケース1でみた
▲の行の右辺の(9.999...)と同じ過ちにはせず、▪️は
1 = (0.999...にはならないだろう) だ。答えはわからない。
▲の行の右辺の(9.999...)という計算が正しくなかったと同じ理由で、ケース2 も3 x 0.333... = 0.999...
ではなさそう......としか言えない。

つまり、少なくとも今回でいえば、循環節が、0, 1-9のいずれかである無限小数をもつ計算には、ケース1が両辺0.999...になったと同様、ケース2 も右辺が、3 x 0.333...=1 になってしまうかもしれない事情が、循環小数の計算に潜んでいるのか？だ。
わからない...

お返事、急いでません。
以上、よろしくお願いします。

回答No.8

Water_5

0.999... と 1は等しくありません。
0.999... ≠１です。
ｘ＾２＋ｙ＾２＜１　　・・・・・・・・（A)を考えます。
f(x)=x ・・・・・・・・・・・・・・・・・（B)を考えます。

特に
ｙ＝０
０＜ｘ＜１、つまりX軸上を考えます。・・・・・・・・（C)
ｆ（ｘ）＝ｘ
０＜ｆ（０．９９９・・・）＝０．９９９・・・＜ｆ(1)＝１　/　（C)式より
であって決して”１”ではありません。
しかし、
　　lim　ｆ（ｘ）＝１
ｘ---->１
が成り立ち　極限値として０．９９９・・・・・＝１が成り立つ。

お礼

回答ありがとうございます。
参考にします。

回答No.7

f272

> １つ、世に決着が既にあるなら、決着した、とだけ教えて下さい。きっと高度な数学理論が並びそうなので。

じゃあ，簡単に言います。決着しています。

> ２つ、まだなら、ひとまず、間違いは以下のどの行かだけ、教えて下さい。再考します。

ケース1は単に「0.999... = 0.999...」と言っているだけで，別に間違っているわけではない。でもそれは「0.999...=1 にはならない」ということを意味しない。
ケース2は(ケース1でもそうですが)0.999...とか0.333... という表記が何を意味しているのかをわかっていないだけです。そんな認識で計算しようとするから，自分のやっている計算がわからなくなっているのです。

> ３つ、1=0.999...は生徒たちもイコールだという認識に教育されているのですか？(はいか、いいえ だけで)

答えは「いいえ」です。教育指導要領のもとにある生徒には無限級数は教えても，それと0.999...というような表記が同じものであることを教えません。学生になれば当たり前のように使うでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

Water_5

0.999... と 1は等しくありません。
0.999... ≠１です。
ｘ＾２＋ｙ＾２＜１　　・・・・・・・・（A)を考えます。
特に
ｙ＝０
０＜ｘ＜１、つまりX軸上を考えます。
０＜ｆ（０．９９９・・・）＝０．９９９・・・＜ｆ(1)＝１
であって決して”１”ではありません。

お礼

回答ありがとうございます。
参考にします。

回答No.5

Water_5

0.999... と 1は等しくありません。
0.999... ≠１です。

回答No.4

feles_c

等しいとは何か、に立ち戻るのが本来の筋道です。

違なら、どんなに小さいにしてもある値の差があるでしょう。どんな小さな値を言ってもそれだけの差があると言えないなら等しいとしか言えませんね。というのが数学の考え方です。（解析のはじめで習う)

0.999.... と 1 の差はどれくらいですか？　百万分の一以上あります？　一億分の一のさらに一億分の一くらい小さかったらどうです？　もっと？　じゃあ、一兆分の一の一兆分の一のさらに一兆分の一ならどうです..;. 結局、いくら小さい値を言ってもそれより差は小さいですね。

ですから、0.999... と 1は等しいです。

お礼

回答ありがとうございます。
参考にします。

回答No.3

nanashisan_

0.999...が循環小数0.9(9の上にドット)のことなら=1であり、
論争も何もすでに決着してます。
難しい数学理論なんかいりません。1行で説明できます。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

noname#232123

数列 {a[n]} を、
a[n] = 9*(1/10)^n とし、S[n] = Σ[k=1~n]a[k]とすると問題の「数」は、
lim[n→∞]S[n]
です。
ここで、S[n]=1 - (1/10)^n. ですから、
|S[n] - 1| = (1/10)^n.
となり、いかに小さい正数ε(>0)が与えられても、自然数Ｎを [ln(1/ε)/ln(10)] にとれば、n>N なるすべての自然数ｎについて、
(1/10)^n < ε, とできる。よって、
lim[n→∞]S[n] = 1.
です。(近似値ではありません)

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

noname#232800

あのー私の考えね。

二進数に「0.1」って無いんですよ。パソコンの中って、二進数と浮動小数しかないんです。以前シャープの「倍精度ＢＡＳＩＣ」ってあって、変数はＢＣＤ（二進化十進）を使ってたので、「0.1」って存在してましたよ。

つまり、通常の倍精度（フロート型だったと思う）は８バイト中、１バイトが小数点で、７バイトが数字なんですよ。

従って、人間の脳には　0.99999999999　が存在しますが、コンピュータの単精度、倍精度では桁数にもよりますが存在するとしても、バイト型、整数型、LONG型、ダブルLONG型だと「１」になるかも。

なんで、小数点に強い高級言語、COBOLとかFORTRANが廃れないんだと思います。
ただ、どうしても小数点以下１００桁を満足しろ、っちゃー整数部を切りだして、残った小数部に１００掛けて演算、最後に１００で割る。そして、整数部を足すって処理でしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。