数学II・B(点・直線・円) の問題

質問

xy平面上に3点A(11,3)、B(3,1)、C(6,4)がある。
線分ABの中点をDとすると、Dの座標は(ア,イ)である。
線分BCを1:2に内分する点をEとすると、Eの座標は(ウ,エ)である。
線分CAを1:2に外分する点をFとすると、Fの座標は(オ,カ)である。
三角形DEFの重心の座標は(キ,ク)である。

この問題の解き方を教えてください。
参考にするといいものなどもあれば教えてくださると嬉しいです^^;

答えは以下のようになるようです
ア=7 イ=2 ウ=4 エ=2 オ=1 カ=5 キ=4 ク=3

回答No.4

noname#231363

ANo.2の別解で、ベクトルを用いません。
なお、大学入試では、解法が指定されることはありませんので、自分のやりやすいようにやればいいです。

点A(xa,ya)、点B(xb,yb)、点C(xc,yc)とおき、後で数値に戻します。

線分ABの中点をD(xd,yd)とおくと、
xd=xa+(xb-xa)/2=(xa+xb)/2=(11+3)/2=7
yd=ya+(yb-ya)/2=(ya+yb)/2=(3+1)/2=2
よって、点Dの座標は(7,2)

線分BCを1:2に内分する点をE(xe,ye)とおくと、
xe=xb+(xc-xb)/(1+2)=(2xb+xc)/3=(2×3+6)/3=4
ye=yb+(yc-yb)/(1+2)=(2yb+yc)/3=(2×1+4)/3=2
よって、点Eの座標は(4,2)

線分CAを1:2に外分する点をF(xf,yf)とおくと、
点Fは点Aを点Cに関して対称移動したものであるから、
xf=xc+(xc-xa)=2xc-xa=2×6-11=1
yf=yc+(yc-ya)=2yc-ya=2×4-3=5
よって、点Fの座標は(1,5)

線分EFの中点をM(xm,ym)、三角形DEFの重心をG(xg,yg)とおくと、
xm=(xe+xf)/2、ym=(ye+yf)/2であるから、
xg=xd+2(xm-xd)/(2+1)=xd+2{(xe+xf)/2-xd}/3=(xd+xe+xf)/3=(7+4+1)/3=4
yg=yd+2(ym-yd)/(2+1)=yd+2{(ye+yf)/2-yd}/3=(yd+ye+yf)/3=(2+2+5)/3=3
よって、三角形DEFの重心の座標は(4,3)

お礼

ありがとうございます！
複数の解き方まで…感謝です^ ^
どれも参考にさせていただきます

回答No.3

yougamaster

３つの点の座標をA(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)、C(x₃、y₃)とすると
線分ABをｍ：ｎに分ける点の座標は
内分・・・((nx₁+mx₂)/(m+n)、(ny₁+my₂)/(m+n))
外分・・・((-nx₁+mx₂)/(m-n)、(-ny₁+my₂)/(m-n))
特に中点の場合は、内分点の式でm=n=1とすればよいので
中点・・・((x₁+x₂)/2、(y₁+y₂)/2)
三角形ABCの重心の座標は・・・((x₁+x₂+x₃)/3、(y₁+y₂+y₃)/3)
これらの式を使えば簡単に求めることができます。

参考となるものですが、これらの式は基本ですので、数学IIの教科書の図形と方程式のところにでてきます。チャート式などのすべての参考書にも載っているはずです。

回答No.2

noname#231363

『数学II・B』の問題であるから、ベクトルを用いて考えます。
（QNo.9384019から、ベクトルについては既に学習されているものとします。）

原点Oを(0,0)、ベクトルOA=OA→のように表すと、
OA→=(11,3)、OB→=(3,1)、OC→=(6,4)

OD→＝OA→+AB→/2=OA→+(OB→-OA→)/2=(OA→+OB→)/2＝((11+3)/2,(3+1)/2)=(7,2)であるから、点Dの座標は(7,2)
なお、線分ABの中点Dは、線分ABを1:1に内分すると考えられます。

また、OE→=OB→+BC→/3=OB→+(OC→-OB→)/3=(2OB→+OC→)/3=((2×3+6)/3,(2×1+4)/3)=(4,2)であるから、点Eの座標は(4,2)

上のOD→とOE→から、xy平面上に点PとQがあり、線分PQをm:nに内分する点Rは、OR→=(nOP→+mOQ→)/(m+n)と表されることがわかります。

線分CAを1:2に外分する点Fについては、点Cが線分AFを1:1に内分する、つまり点Cが線分AFの中点になるので、
OC→=(OA→+OF→)/2であるから、OF→=2OC→-OA→=(2×6-11,2×4-3)=(1,5)
よって、点Fの座標は(1,5)

三角形DEFの重心Gは、線分EFの中点をMとすると、線分DMを2:1に内分する点になるので、
OG→=(OD→+2OM→)/(2+1)=(OD→+OE→+OF→}/3=((7+4+1)/3,(2+2+5)/3)=(4,3)
よって、三角形DEFの重心の座標は(4,3)

回答No.1

asuncion

A(11, 3), B(3, 1), C(6, 4)
ABの中点Dは、((11 + 3) / 2, (3 + 1) / 2) = (7, 2)
x座標どうしを足して2で割る。yも同じ。

BCを1:2に内分する点Eは、((1 * 6 + 2 * 3) / (1 + 2), (1 * 4 + 2 * 1) / (1 + 2)) = (4, 2)
Cの座標には1がかかり、Bの座標には2がかかる。ちょうどクロスするようなイメージ。

CAを1:2に外分する点Fは、((-1 * 11 + 2 * 6) / (-1 + 2), (-1 * 3 + 2 * 4) / (-1 + 2)) = (1, 5)
外分の場合は、小さい方の数値（今回は1）にマイナスを付ける。

△DEFの重心は((7 + 4 + 1) / 3, (2 + 2 + 5) / 3) = (4, 3)
3点のx座標を合計して3で割る。yも同じ。