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数II B、数列を教えてください
写真の問題の数列の解き方を教えてください! 答えはそれぞれ 1){n(n+1)(n+2)}/3 2)3n/2(3n+2) 3)(n-1)2^n+1 となるみたいです
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>※結果は書かないでください。 そういうしばりはないはず。 さて、 1) 1・2 + 2・3 + 3・4 + ... + n(n+1) = Σ[k=1~n](k^2 + k) = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+4)/6 = n(n+1)(n+2)/3 2) 3/(2・5) + 3/(5・8) + 3/(8・11) + ... + 3/((3n-1)(3n+2)) = 1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/8 + 1/8 - 1/11 + ... + 1/(3n-1) - 1/(3n+2) = 1/2 - 1/(3n+2) = 3n/(6n+4) 3) S = 1・1 + 2・2 + 3・2^2 + 4・2^3 + ... + n・2^(n-1) = 1・2^0 + 2・2^1 + 3・2^2 + 4・2^3 + ... + n・2^(n-1) 2S = 1・2^1 + 2・2^2 + 3・2^3 + 4・2^4 + ... + n・2^n 辺辺引いて、 -S = 1・2^0 + 1・2^1 + 1・2^2 + 1・2^3 + ... + 1・2^(n-1) - n・2^n 右辺の最初から最後の1つ手前までの合計は、初項1, 公比2の等比数列の第n項までの和。 -S = 1・(2^n - 1) - n・2^n = 2^n - 1 - n・2^n = 2^n(1 - n) - 1 ∴S = (n-1)2^n + 1
Σk=(1/2)n(n+1), Σk^2=(1/6)n(n+1)(2n+1), Σk^3={Σk}^2 は記憶必須です。 ※結果は書かないでください。 1) Σ[k=1~n]k(k+1)=Σk^2 + Σk. 2) Σ[k=1~n]3/{3k-1)(3k+2)}=Σ{1/(3k-1) - 1/(3k+2)} ={1/2-1/5}+{1/5-1/8}+・・・+{1/(3n-1)-1/(3n+2)}=1/2 - 1/(3n+2) =(通分してください)。 3) S[n]=Σ[k=1~n]k*2^(k-1). とすると、 2*S[n]=1*2+2*2^2+3*2^3+.....+n*2^n. これを原式の下に”指数をそろえて”かきだし、引き算をします。すると、Σ2^kが現れます。これをまとめて全体を整理してください。
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