(A∩B)∪(A~∩B) = Bの証明

質問

A~ をAの補集合としたとき、ベン図では自明な
　　(A∩B)∪(A~∩B) = B
を論理記号だけで証明しようとしたら、全く同じ命題同士の論理和と論理積
　　p∨p と p∧p
が出てきて、わけがわからなくなりました（笑）。

　　(A∩B)∪(A~∩B)
　 ⇔ x∈A∧x∈B ∨ ￢x∈A∧x∈B
　 ⇔ ( (x∈A∧x∈B)∨(￢x∈A) ) ∧ ( (x∈A∧x∈B)∨(x∈B) )
　 ⇔ ( x∈A∨￢x∈A ∧ x∈B∨￢x∈A ) ∧ ( x∈A∨x∈B ∧ x∈B∨x∈B )
　 ⇔ (x∈A∨￢x∈A)∧(x∈B∨￢x∈A)∧(x∈A∨x∈B)∧(x∈B∨x∈B)

　恒真との論理積は不変で、たぶん

　　x∈B∨x∈B ⇔ x∈B

としてよいような気がするので
⇔ (x∈B∨￢x∈A)∧(x∈A∨x∈B)∧(x∈B)
として続けたのですが、ここから分配律を使って変形しても堂々巡りになってうまくいきません。
　どうしたらいいのでしょうか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

左辺=(A∩B)∪(A~∩B)
【 結合則 】を用いて
=(A∪A~)∩B
【 公式: A∪A~=1】を用いて
=1∩B
【 公式: 1∩B=B】を用いて
=B
= 右辺
(証明終)

で良いのでは?

お礼

ああ！　そうですね。分配律だけにこだわってました（笑）。
　回答まことにありがとうございました。