微分を数値的に積分して近似解を求める方法

質問

du/dt=f(u,t) というような感じの単純な常微分方程式を逐次的にコンピュータで数値積分していく場合、単純陽解法とかルンゲクッタ法とか予測子・修正子法、台形公式などいろいろあると思います。あるいは反復計算を含むものなどもあると思います。これらについてグラフを作図して解析解との差を評価したりするわけですが、偏微分方程式で使う場合も全く同じ評価がそのまま当てはまるでしょうか。常微分方程式での知見がそのまま偏微分方程式の計算に当てはまるのか、ということなのですが。反復計算を用いる方法で常微分方程式では芳しくない結果だったのですが、偏微分の場合は反復計算の価値が高くなるのではないかと思ったりするものですから。反復計算、すなわち繰り返しをやるうちに陰解法的になっていくからなのですが。
いかがでしょうか。細かい内容の質問で恐縮ですが、よろしくお願いします。

回答No.1

f272

曖昧な質問で答えにくいのだが...

> 偏微分方程式で使う場合も全く同じ評価がそのまま当てはまるでしょうか。

グラフを作図して解析解との差を評価ということでしたら、同じですよね。でも解いている式が違うだろうし、その解き方が違えば当然に計算精度は異なるでしょう。

お礼

抽象的な質問ですみません。数値積分の優劣の序列があるとしたら、常微分方程式と偏微分方程式は同じかということになります。その優劣ですが、精度と安定性という面で必ずこれ、というのがないのかもしれません。あるいは局面に応じて自動で選択できるとかですが。ケースバイケースということであれば、優劣の序列が決まっているわけではない、ということになるのですが。