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常微分方程式の問題です
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先ず簡単化のため変数をxからt (t=x-1)に変換して考えます。 初期条件 t=0 のとき u=1, 求める式は次のように書き換えられます。 1. (1-tu)du/dt = u; t=0 の時 1*du/dt = u =1; du/dt =1; 解がべき級数関数で近似され、次のようになったと仮定します。 2. u = 1 +t +at^2 +bt^3; 2式を1式に代入してtのべき乗項の係数が出来るだけ高次の項まで一致するようにa,bの値を決定します。 tの4次ないしそれ以上の項まで一致させる事は無理なので3次の項迄で止めています。 3. (1-t*(1+t+at^2+bt^3))*(1+2at+3bt~2) = (1+t+at^2+bt^3); 3式をtの0,1,2次の各項が一致するようにa,bを決定します。 3式にtの3次以上の項も現れますが、それらの項は無視して計算します。 3次以上の項はずっと小さく無視できる筈でしょう。 そうすると a=-1, b=2/3 となるようですので確認して下さい。 (験算はしていません) 最終結果: 4. u = 1 +t -t^2 +2t^3/3 4式をxのべき級数として求めるためには、t=x-1 を4式に代入してxの式として求めます。
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お礼
とても早い回答ありがとうございました。