微分方程式

質問

微分方程式
u=f(x)
du/dx=f(x+π/2)のとき
uを求める

回答No.4

kiyos06

0)df(x)/dx =f(x+π/2)
10)別解
10.1) (4.1)でyが多価関数に取れることを見逃しました

11)f = ∫ [-∞,∞] g(ω) e^(iωx) dωとする。
11.1) ∫ [-∞,∞] iω g(ω) e^(iωx) dω = ∫ [-∞,∞] g(ω) e^(iωx +iωπ/2) dω

12)iω =e^(iωπ/2)
13)ω =+-1, g(ω):任意
14)f =c1 sinx +c2 cosx

参考URL：

http://qanda.rakuten.ne.jp/profile/answer/history/u946114.html

回答No.3

jcpmutura

#2です
先ほどの
sin(x+π/2)=cos(x)ではないと書いたのは誤りでした取り消します
sin(x+π/2)=cos(x)は正しいです申し訳ありません

回答No.2

jcpmutura

u=f(x)
du/dx=f(x+π/2)

u=f(x)=Ce^{±ix}=C(cosx±isinx)
として両辺をxで微分すると
du/dx=±iCe^{±ix}=C(±icosx-sinx)
f(x+π/2)=Ce^{±i(x+π/2)}=C(cos(x+π/2)±isin(x+π/2))
=Ce^{±ix}e^{±iπ/2}=C(cosx±isinx)(cos(π/2)±isin(π/2))
=±iCe^{±ix}=C(±icosx-sinx)
=du/dx
∴解は
u=f(x)=Ce^{±ix}=C(cosx±isinx)

なお
sin(x+π/2)=-cosx≠cosx
なので
a=1の時
acos(ax)=cosx
sin(ax+aπ/2)=sin(x+π/2)=-cosx≠cosx=acos(ax)
なので
acos(ax)=sin(ax+aπ/2)となるaはa=1ではありません

du/dx=-f(x+π/2)
u=f(x)=Csinx
du/dx=Ccosx
f(x+π/2)=Csin(x+π/2)=-Ccosx=-du/dx
du/dx=-f(x+π/2)≠f(x+π/2)
なので
u=c sinx
は
du/dx=u(x+π/2)の解ではありません

回答No.1

kiyos06

0)df(x)/dx =f(x+π/2)
1)f(x) =sin(ax) g(x)とする。
1.1)sin(ax) dg(x)/dx +acos(ax) g(x) =sin(ax +aπ/2) g(x+π/2)
2)acos(ax) =sin(ax +aπ/2)となるaを選ぶ。a =1
2.1)sinx dg(x)/dx =cosx (g(x+π/2) -g(x))
3)x =t/2とする。
3.1)2tan(t/2) dg(t/2)/dt =g(t/2+π/2) -g(t/2)
4)g(t/2) =y(tan(t))とする。
4.1)2tan(t/2) dy(tant)/dtant dtant/dt =y(tan(t+π)) -y(tant)
5)dy(tant)/dtant =0
6)y =c
7)f =c sinx

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n296821