絶対値を含む２階微分方程式

質問

|du/dx| -1 = ε d^2u/dx^2
u(±1) = 0
ｘ∈（-1,1）　ε＞０
を満たす(C2級)関数ｕを求めよという微分方程式初期値問題です。

分からないところ
・du/dxに付いた絶対値の取り扱い
・とりあえず絶対値無しで解こうとしたとき、εによって場合分けが必要になってくるのかどうか？　0＜ε＜1/4のとき、ε=1/4のとき、ε＞1/4の時でそれぞれ会が違ってくるという方法で進めていって本当にいいものかどうか？

なお、この初期値問題を満たすｕはただ一つしかないことを示せというのが付属していますが、こちらは無くても構いません。

よろしくお願いします。

回答No.2

kony0 · ベストアンサー

絶対値がないものとしたとき、（すなわちu'(x)>=0と仮定したとき）
u(x)=C1*e^((1/ε)x)+x+C2（C1,C2は定数）
となりませんか？

以下、私の解法。定数変化法です。
まず斉次方程式：u'(x)=εu"(x)の解はu'(x)=Ce^((1/ε)x)
よって、求める解はu'(x)=C(x)*e^((1/ε)x)となる。
これをu'-1=εu"に代入すると、-1=εC'(x)e^((1/ε)x)
よって、C(x)=e^(-(1/ε)x)+C0となり、u'(x)=1+C0*e^((1/ε)x)
これより、u(x)=x+(C0*ε)*e^((1/ε)x)+C2, ここでC0*ε=C1とおくと完成。

ちなみに、u'(x)<0と仮定すると、u(x)=C3*e^(-(1/ε)x)-x+C4となると思います。

ここからは解いていないのですが、εの1/4より大小で場合わけをする必然性とかは今のところ思いつかないです。。。

次の方針として考えようと思うのは、u'(±1)の正負で場合わけをすることなのですが・・・まず±１の近傍からじわりじわりu(x)を確定させていって、うまくつながればいいなぁと思うものの、もう寝る時間なのでここらでやめます。（汗）

お礼

深夜に回答有り難うございます。

εを1/4で分けるのはミスらしいと言うことがその後の計算で分かってきました。どうも御迷惑をおかけしました。

これから教わった方法を実践して行きたいと思います！　かなり正解っぽいアドバイスですね、本当にどうもありがとうございました。

回答No.1

wolv

とりあえず、du/dxの符号で場合わけして
解けるところまで解いてみたら？

問題はおきますか？

補足

絶対値が無いものとして考えたとき、いきなりｘで積分して１階にして、以下公式を用いて解いていくと、
　u(x)=ε+ｘ+Ｃ　（Ｃ：定数）
というのが得られました。途中の計算が間違っていなければ・・・。

確かにax+bの形でaの絶対値が1ならば解になることはすぐわかるのですが、C^2級の解を求めろと言っているし、境界値条件の２つの式に対して定数が１つであることと、絶対値の場合分けなどが良く分かりません。