底が０から１の指数不等式

質問

(1/4)^x-(1/2)^x≦2を解く途中でわからない点がでてきました。
(1/2)^x=tとおくと、t>0・・・(1)　不等式は、t^2-t-2≦0　(t+1)(t-2)≦0まではわかりました。自分は最初　-1≦t≦2　(1)より0＜t≦2で、0＜(1/2)^xが解けず、あきらめました。
問題集で類題を探したところ、(1)より、(t+1)>0よって(t-2)≦0、t≦2　(1/2)^x≦2、2^(-x)≦2^1よりx≧-1というように考えたのですが、
最初の考えではいけない点を教えてください。今度類題を解くときも、間違えてしまいそうなので、区別をしっかりつけて置きたいです。ご指導おねがいします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

＞(1/2)^x=tとおくと、t>0・・・(1)
これはすべてのxについて成り立つから、(1/2)^x ≦ 2
となるようなxの範囲を考えればいいのではないでしょうか。

お礼

すべてのｘについて成り立つというのは、気づきませんでした。お返事ありがとうございます。

回答No.1

info222_

>最初の考えではいけない点を教えてください。今度類題を解くときも、
>間違えてしまいそうなので、区別をしっかりつけて置きたいです。
>ご指導おねがいします。

t=(1/2)^x のグラフを描いて考えればいいですよ。
グラフより 0＜t≦2に対応するxの範囲は
∞>x>= -1
であることがわかる 。
(Ans.) x>= -1
( ∞>x は通常省略してもよい )

お礼

∞が答えに出てくるとは、考えもしなかったです。お返事ありがとうございます。