数列の収束に関する証明問題

質問

(1) ｛An｝(n＝1～∞)、｛Bn｝(n＝1～∞)を数列とし、Σ(n＝1～∞) An^2、Σ(n＝1～∞) Bn^2は収束するとする。このとき、
| Σ(n＝1～∞) AnBn | <= ( Σ(n＝1～∞) An^2)^1/2 × ( Σ(n＝1～∞) Bn^2)^1/2
を示せ。
(2)｛An｝(n＝1～∞) を数列とし、Σ(n＝1～∞) An^2は収束するとする。このとき、s>1/2ならば、Σ(n＝1～∞) n^(-s) × An は絶対収束することを示せ。

この二問の解き方がいまいち分かりません。分かる方、教えてくださると助かります。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

(1)
0≦ | Σ(1≦k≦n) Ak Bk | ≦ Σ(1≦k≦n) |Ak| |Bk| ... (A)であるが、
Cauchy – Schwarzの不等式から、 Σ(1≦k≦n) |Ak| |Bk|≦ ( Σ(1≦k≦n)Ak^2 )^(1/2) * ( Σ(1≦k≦n)Bk^2 )^(1/2) ...(B)となる。
(B)においてn→∞とすると、Σ(1≦k<∞) |Ak| |Bk|≦( Σ(1≦k<∞)Ak^2 )^(1/2) * ( Σ(1≦k≦<)Bk^2 )^(1/2) ...(C)となる。
(C)の右辺は、問題により収束するので、(C)の左辺も収束する。(A)に戻ると、これは Σ(1≦k< ∞) Ak Bkが絶対収束することを示しており、かつ(A)(B)においてn→∞とすると 0≦ | Σ(1≦k<∞) Ak Bk | ≦ Σ(1≦k<∞) |Ak| |Bk| ≦( Σ(1≦k≦∞)Ak^2 )^(1/2) * ( Σ(1≦k≦∞)Bk^2 )^(1/2) となって題意は示された。

ポイントは Σ(1≦k<∞) Ak Bk がきちんと収束することを保証するために、これが絶対収束することを示すこと。

(2)
Bn = n^(-s)として、(1)をそのまま適用する。Σ(1≦k< ∞) (Bk)^2 = Σ(1≦k< ∞) n^(-2s) は、-2s < -1より絶対収束する。後は(1)をそのまま適用すれば良い。

お礼

コーシーシュワルツの不等式を使うことによってだいぶ道が開けてくる感じですね、、！！ すごく分かりやすいです！！
(2)はBnをn^(-s)に置き換えて(1)を利用するという方法もなるほどと思いました。回答、ありがとうございました！！！

回答No.1

ddtddtddt

(1)は｛An｝(n＝1～∞)をベクトルA＝(An)と考えます。同様に｛Bn｝(n＝1～∞)もB＝(Bn)と。無限次元ベクトルですけど(^^;)。そうすると内積（・）の基本性質から、

　　A・B≦|A||B|

　いま|A|^2も|B|^2も収束するので、上記は明らかと言えば明らかのような・・・。でも明らかと言って証明しないと、きっと怒られるんだよな(^^;)。

　(2)については、フーリエ振幅の話を思い出しました。調べるとすれば、パーゼブルの不等式あたりだろうか？。でも自信なしです(^^;)。

お礼

ありがとうございます。数列をベクトルとして考えて、内積の基本性質を使うという発想はなかったです。(2)も初めて聞く話ですが、調べてみます！！
分かりやすい解答ありがとうございました。