確率問題

質問

学校Aの年間欠席日数は平均9日、標準偏差4日
学校Bの年間欠席日数は平均5日、標準偏差3日
学校A、Bからそれぞれ100名の生徒を無作為抽出したとして、
年間平均欠席日数の差（学校Aー学校B）が3日以上となる確率はいくつか。

回答No.1

jcpmutura

学校Aの年間欠席日数は平均9日、標準偏差σx=4日の正規分布N(9,4^2)に従い
学校Bの年間欠席日数は平均5日、標準偏差σy=3日の正規分布N(5,3^2)に従う
とすると
学校A,Bからそれぞれ100名の生徒を無作為抽出したとすると、
学校Aの年間平均欠席日数
X'=Σ_{k=1～100}X_k/100
はN(9,4^2/100)に従うから
σx'=σx/10=2/5
X=(X'-9)/σx'=5(X'-9)/2はN(0,1)に従う
学校Bの年間平均欠席日数
Y'=Σ_{k=1～100}Y_k/100
はN(5,3^2/100)に従うから
σy'=σy/10=3/10
Y=(Y'-5)/σy'=10(Y'-5)/3はN(0,1)に従う
年間平均欠席日数の差(学校A-学校B)が3日以上となる確率は
P(X'-Y'≧3)
↓4X/5=2X'-18
↓3Y/5=2Y'-10
↓3Y/5-4X/5=2(Y'-X'+3)+2≦2
=P(3Y/5-4X/5≦2)
={1/(2π)}∫_{3y/5-4x/5≦2}e^{-(x^2+y^2)/2}dxdy

ここで
U=3Y/5-4X/5
として
回転座標変換
u=-4x/5+3y/5
v=-3x/5-4y/5
を行うと
u^2+v^2
=(-4x/5+3y/5)^2+(-3x/5-4y/5)^2
=x^2+y^2

dxdy=dudv
だから

P(X'-Y'≧3)
=P(3Y/5-4X/5≦2)
={1/(2π)}∫_{3y/5-4x/5≦2}e^{-(x^2+y^2)/2}dxdy
={1/√(2π)}∫_{u<2}e^{-u^2/2}du{1/√(2π)}∫_{-∞～∞}e^{-v^2/2}dv
={1/√(2π)}∫_{u<2}e^{-u^2/2}du
=P(U<2)
↓U～N(0,1)で正規分布表によると
≒0.9772