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確率問題
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学校Aの年間欠席日数は平均9日、標準偏差σx=4日の正規分布N(9,4^2)に従い 学校Bの年間欠席日数は平均5日、標準偏差σy=3日の正規分布N(5,3^2)に従う とすると 学校A,Bからそれぞれ100名の生徒を無作為抽出したとすると、 学校Aの年間平均欠席日数 X'=Σ_{k=1~100}X_k/100 はN(9,4^2/100)に従うから σx'=σx/10=2/5 X=(X'-9)/σx'=5(X'-9)/2はN(0,1)に従う 学校Bの年間平均欠席日数 Y'=Σ_{k=1~100}Y_k/100 はN(5,3^2/100)に従うから σy'=σy/10=3/10 Y=(Y'-5)/σy'=10(Y'-5)/3はN(0,1)に従う 年間平均欠席日数の差(学校A-学校B)が3日以上となる確率は P(X'-Y'≧3) ↓4X/5=2X'-18 ↓3Y/5=2Y'-10 ↓3Y/5-4X/5=2(Y'-X'+3)+2≦2 =P(3Y/5-4X/5≦2) ={1/(2π)}∫_{3y/5-4x/5≦2}e^{-(x^2+y^2)/2}dxdy ここで U=3Y/5-4X/5 として 回転座標変換 u=-4x/5+3y/5 v=-3x/5-4y/5 を行うと u^2+v^2 =(-4x/5+3y/5)^2+(-3x/5-4y/5)^2 =x^2+y^2 dxdy=dudv だから P(X'-Y'≧3) =P(3Y/5-4X/5≦2) ={1/(2π)}∫_{3y/5-4x/5≦2}e^{-(x^2+y^2)/2}dxdy ={1/√(2π)}∫_{u<2}e^{-u^2/2}du{1/√(2π)}∫_{-∞~∞}e^{-v^2/2}dv ={1/√(2π)}∫_{u<2}e^{-u^2/2}du =P(U<2) ↓U~N(0,1)で正規分布表によると ≒0.9772
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