最後のxの範囲…

質問

下の解説なのですが、最後のxの範囲が出た所からが分かりません。この範囲はxを定数としたときの範囲ではないのですか。なぜそのまま答にしてよいのでしょうか。

回答No.3

ddtddtddt

#1さん，#2さんの仰っている事は全く正しいのですが、もっとベタに考えてみますか。

　例えばxに1とか2を代入して、z＝3y^2＋(4x＋5)y＋(2x^2＋4x－4)のグラフを書いたとします。xには1とか2を代入してますから、z＝の式は、たんなるyの2次関数です。

　これがyが実数の解を持つためには、2次関数の頂点がy軸より下にあれば良い事になります。xを色々変化させれば、いつかは2次関数の頂点がy軸より上にあるxの値に出くわします。

　ここで思う訳です。「2次関数の頂点がy軸より下にある条件」って、「判別式が0以上」と同じだったよね・・・と。

　そこで判別式を計算すると、「ぎりぎり頂点がy軸と接する条件」として、(－2±5√6)/4が出てきます。だからz＝がyが実数の解を持つぎりぎりの最大値は、x＝(－2＋5√6)/4だとなります。

　たしかにxは定数ではありませんが、試すために代入したそれぞれのxでは、xは「定数」です。そのようなお試し過程を効率良く書いただけと考えるなら、「xを定数と考えて」判別式を使っても、問題ないですよね？(^^)。

　大学ではこのように考える場合、「xを未定の定数として」などと非常に曖昧な言い方をしますが、気持ちは以上です(^^;)。

回答No.2

jcpmutura

下の(a)の
{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36…………………………(a)

写真の解き方の(1)'の判別式Dはこの式(a)の右辺の分子になります
写真の解き方では
(1)'の式を(a)の式に変形する過程を省略しているのです

(a)の式でx,y両方変数だとしても
y+(4x+5)/6
が実数だから(実数)^2≧0だから
{y+(4x+5)/6}^2≧0だから
0≦{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36
だから
0≦(-8x^2-8x+73)/36
だから
8x^2+8x-73≦0
だから
(-2-5√6)/4≦x≦(-2+5√6)/4
となるのです

3y^2+(4x+5)y+2x^2+4x-4=0
両辺を3で割ると
y^2+(4x+5)y/3+2x^2/3+4x/3-4/3=0
{y+(4x+5)/6}^2-(4x+5)^2/36+2x^2/3+4x/3-4/3=0
{y+(4x+5)/6}^2-(16x^2+40x+25)/36+2x^2/3+4x/3-4/3=0
{y+(4x+5)/6}^2+2x^2/9+2x/9-73/36=0
{y+(4x+5)/6}^2+(8x^2+8x-73)/36=0
両辺から(8x^2+8x-73)/36を引くと
{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36…………………………(a)
0≦{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36だから
0≦(-8x^2-8x+73)/36
両辺に36をかけると
0≦-8x^2-8x+73
両辺に8x^2+8x-73を加えると
8x^2+8x-73≦0
両辺を8で割ると
x^2+x-73/8≦0
(x+1/2)^2-1/4-73/8≦0
(x+1/2)^2-75/8≦0
{x+(2+5√6)/4}{x+(2-5√6)/4}≦0
(-2-5√6)/4≦x≦(-2+5√6)/4
よって,求めるxの最大値は
x=(-2+5√6)/4

回答No.1

jcpmutura

xの範囲はxを定数とした時の範囲ではありません
下の(a)の
{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36…………………………(a)
の式でx,y両方変数だとしても
y+(4x+5)/6
が実数だから(実数)^2≧0だから
{y+(4x+5)/6}^2≧0だから
0≦{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36
だから
0≦(-8x^2-8x+73)/36
だから
8x^2+8x-73≦0
だから
(-2-5√6)/4≦x≦(-2+5√6)/4
となるのです

3y^2+(4x+5)y+2x^2+4x-4=0
両辺を3で割ると
y^2+(4x+5)y/3+2x^2/3+4x/3-4/3=0
{y+(4x+5)/6}^2-(4x+5)^2/36+2x^2/3+4x/3-4/3=0
{y+(4x+5)/6}^2-(16x^2+40x+25)/36+2x^2/3+4x/3-4/3=0
{y+(4x+5)/6}^2+2x^2/9+2x/9-73/36=0
{y+(4x+5)/6}^2+(8x^2+8x-73)/36=0
両辺から(8x^2+8x-73)/36を引くと
{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36…………………………(a)
0≦{y+(4x+5)/6}^2=(-8x^2-8x+73)/36だから
0≦(-8x^2-8x+73)/36
両辺に36をかけると
0≦-8x^2-8x+73
両辺に8x^2+8x-73を加えると
8x^2+8x-73≦0
両辺を8で割ると
x^2+x-73/8≦0
(x+1/2)^2-1/4-73/8≦0
(x+1/2)^2-75/8≦0
{x+(2+5√6)/4}{x+(2-5√6)/4}≦0
(-2-5√6)/4≦x≦(-2+5√6)/4
よって,求めるxの最大値は
x=(-2+5√6)/4

お礼

ありがとうございました。
写真の解き方での解説をお願いしたいのですが…