サインコサインの微分積分がガウス空間と重なるのは

質問

やはり偶然なのですか。以前から繰り返し同様の質問をさせていただいていますが、どなたか易しくご教示いただけないでしょうか。数２がやっとで数３には手も足も出ません。

回答No.4

jcpmutura · ベストアンサー

偶然ではありません
複素数(ガウス)平面C上の
単位円上の複素数点
z
は円の法線方向を表し
その回転方向微分
z'
は円の接線方向を表すので
法線と接線のなす角度は90°なので
微分することは90°回転する事になります

複素数(ガウス)平面C上の
単位円
|z|=1となる
複素数
z
の偏角を
arg(z)=x
とすると

z=e^{ix}=cosx+isinx

両辺をxで微分すると

z'=ie^{ix}
↓i=e^{iπ/2}だから
z'=e^{iπ/2}e^{ix}
z'=e^{i(x+π/2)}
だから
e^{ix}をxで微分すると(π/2)=90°回転する

z(x)=e^{ix}=cosx+isinx
↓微分すると90°回転
z'(x)=ie^{ix}=-sinx+icosx
↓微分すると90°回転
z"(x)=-e^{ix}=-cosx-isinx
↓微分すると90°回転
z"'(x)=-ie^{ix}=sinx-icosx

z(0)=1
↓微分すると90°回転
z'(0)=i
↓微分すると90°回転
z"(0)=-1
↓微分すると90°回転
z"'(0)=-i

お礼

微分すると９０度回転するのですね。積分すると逆向きに９０度回転するのですね。勉強させていただきます！

回答No.3

catpow

ガウス平面、つまりは直線や曲線などを描いて微分・積分を考えたりする世界と、円を元に、回転とか三角形などを描いている三角関数って、まったく別物のように思えるけど、似ているように思えるわけですね。

私も、数学は苦手だったのですけど、社会人になって、映画「博士の愛した数式」を見たあと、書籍「オイラーの贈り物」などを読んで、「え！！、この公式って、こんな成り立ちだったの？！」と驚くと同時に、なんとなく分かった気になったりしたものです。でも、やっぱりしばらく時間がたつと、よく分からなくなって、微分・積分や指数・対数、無限などの数学の本を読んだりしたものです。

見える実数世界と見えない虚数世界が交差するように思えてきて、「この世」と「あの世」、「物質」と「エネルギー」の関係を表している数式にも思えたりします。

さらに、電気関係で、テスラが発明した交流理論を学ぶと、そこは三角関数や虚数の世界です。

書籍「オイラーの贈り物」は、オイラーの公式を説明するだけで５００ページ以上にもなっています。このサイトで簡単に説明できるものではないと思います。

当然、私もちゃんと答えることはできません。でも、それを理解するために、数学の勉強を続けられたらいいと思いますよ。

お礼

憧れるのはないものねだりでもありそうですが、少しでも数学がわかるようになりたいと思っています。

回答No.2

-q7P2izb__

はじめまして。題意がよく分かりました。
私も数学IIIでそれを習った時は、巡回しているのがすごいなと思いました。
きっと何か意味があるに違いないと思っていました。
その後、大学でも数学を勉強した結果、私は偶然と結論づけました。

理由は、巡回するものであればいくらでも存在するからで、
特にsin,cosの巡回に関してはとても綺麗な形の巡回ですが、
そもそも三角関数はsin,cos,tanとあってその中からsin,cosだけを
取り出すと上手いガウス平面のように巡回する形になるだけで、
sin,tanやcos,tanを取り出して微分しても同じようにはならないと思います。

ただ、sin,cosの微分積分がガウス空間と重なるというのは、
私が見た中では一番綺麗で今でも記憶に残っています。
もしかしたら何か意味があるのかもしれませんね。

お礼

数学の美しさに憧れをもっているのですが、才能がないことが悔やまれます。やはり偶然でしたか！

回答No.1

catpow

「ガウス空間」という単語は、初めて目にしました。

数学の本では「ガウス平面」っていう単語を何度も目にしましたが・・・。

また「サインコサインの微分積分がガウス空間と重なる」という表現も数学の本では、目にしたことありません。
質問者さんは、どういうことを疑問に思われているのですか？

お礼

以後気をつけます。ガウス平面を1,i,-1,-i　とぐるりと回ることと三角関数を順次微分していくとsinx,cosx,-sinx.-cosxとなるところが似ているように思われたということを標題のように書きました。おそらく中学数学程度の知識ありは実力しかないので理解は高嶺の花かと思っております。