- 締切済み
波動方程式の解き方
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- jcpmutura
- ベストアンサー率84% (311/366)
f'はdf/dtでもdf/dxでもなく f'(v)=df(v)/dv f'(r-ct)=df(r-ct)/d(r-ct) f'(r-ct)=df(v)/dv_{v=r-ct} のように f'(r-ct)は()の中のr-ctを1変数v=r-ctとして f(v)のvによる微分です f(v),v→f(v),は合成関数ではありません vはrとtの多変数関数だけれども f(v)はvに関して1変数関数です. f'(r-ct) は f(v)のvによる微分 f'(v) を求めた後に v=r-ct と代入したものです 例えば f(v)=v^2 とすると f(r-ct)=(r-ct)^2 f'(v)=2v だから f'(r-ct)=2(r-ct) となります。
- jcpmutura
- ベストアンサー率84% (311/366)
r=√(x^2+y^2+z^2) u=u(x,y,z,t)={f(r-ct)}/r v=r-ct とすると ∂u/∂t =∂{f(r-ct)/r}/∂t =∂{f(v)/r}/∂t ={∂f(v)/∂t}/r =(∂v/∂t)f'(v)/r =-cf'(r-ct)/r ∂u/∂x =∂{f(r-ct)/r}/∂x =∂{f(v)/r}/∂x ={∂f(v)/∂x}/r+f(v){∂(1/r)/∂x} =(∂v/∂x)f'(v)/r+f(v)(-1/r^2)(∂r/∂x) =(∂r/∂x)f'(v)/r+f(v)(-1/r^2)(x/r) =(x/r)f'(v)/r+f(v)(-x/r^3) =xf'(v)/r^2-xf(v)/r^3 =x{rf'(v)-f(v)}/r^3 =x{rf'(r-ct)-f(r-ct)}/r^3
お礼
ありがとうございます。ところで、これは連鎖律か何かですか？
補足
画像の「f'」というのは、df/dt なのか df/dx なのか ∂f/∂t なのか ∂f/∂x なのかわかりません。 また、それは（多変数の）合成関数の微分の公式か何かですか？ よろしくお願い致します。
関連するQ&A
- 偏微分方程式の計算過程（波動方程式？）
r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)で、u=u(x,y,z,t)={f(r－ct)}/rのときの、∂u/∂tと∂u/∂xの求め方を詳しく教えてください。特に、fの扱いがわかりません。 ちなみに、∂r/∂x＝x/rになることは、計算してわかりました。
- 締切済み
- 数学・算数
- 波動方程式について
wikibookの http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E6%B3%A2%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA のページにあるu(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)を f(x+vt)=1/2(u(x,t)-v*∫(∂u(x,t)/∂x)dt) に変換する過程の式を教えてください．この式はwikibookには書いていませんが分かる方お願いします． また，もう一つお聞きたいのですが (1/v^2)*(∂^2u(x,t)/∂t^2) を積分すると単純に (1/v^2)*(∂u(x,t)/∂t) となりますか？なるとうれしいのですが． 式が見難いとは思いますが上記ふたつについて回答お願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 波動方程式における変数分離法について
まずu(x,t)の1次元波動方程式{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}について ここでもし、u(x,y)がxの関数X(x),Tの関数T(t)の積u(x,y)=X(x)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。 まずu(x,y)=X(x)*T(t)を代入すると、 {((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}はX*(T'')=(v^2)*(X'')*Tとなり、 これを(v^2)*X*Tで割ると{T''/(v^2)*T}=(X''/X)となる。 この式の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない。そしてこの定数AについてA<0が成り立つ。 次にu(x,y,t)の2次元波動方程式 {((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*[{((∂^2)u)/(∂x^2)} + {((∂^2)u)/(∂x^2)}]についても同様にu(x,y,t)がxの関数X(x),Yの関数Y(y),Tの関数T(t)の積X(x)*Y(y)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。 u(x,y,t)=X(x)*Y(y)*T(t)を上の2次元波動方程式に代入すると、 X*Y*T''=(v^2)*[{(X'')*Y*T}+{X*Y*(T'')}]となり、 この両辺を(v^2)*X*Y*Tで割ると、{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}となる。 この式の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとなる必要がある。そしてA<0でなければならない。 ※以上が変数分離法による1次・2次波動方程式を解く手順ですが、まず1次について「{T''/(v^2)*T}=(X''/X)の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない」というのは一体どういう意味なのでしょうか？ もし左辺がXのみの式でなかったら、例えばXとYの式だったら=定数Aとはおけないのでしょうか？ 同じく2次の場合についても、「{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとならなければならない」とありますが、これもどういう意味なのでしょうか？ 詳しいかた教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分教えてください！
R^2＼{(0,0)}における変数変換 x = u/(u^2+v^2),y = -v/(u^2+v^2)を用いて、x,yの関数f(x,y)をu,vの関数と考える （１）∂f/∂x,∂f/∂yをu,vの関数と考えて,∂f/∂u,∂f/∂v等で表せ （２）(∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂y^2)は(∂^2f/∂u^2)+(∂^2f/∂v^2)のあるu,vの関数倍になることを示しその関数を求めよ さっぱりわかりません 教えてください お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 多変数関数の上限と下限
次の F(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2+2xy-4xz-4yz という２次の３変数関数について、 F(x,y,z)/(x^2+y^2+z^2) ((x,y,z)≠(0,0,0)) -----------(1) の上限、下限を求めたいのですが、途中からわからなくなってしまい、投稿いたしました。 まず、 F(x,y,z)=(x y z)A(t(x y z)) というように、行列表示にしました。ただし、 |2 1 -2| A= |1 2 -2| |-2 -2 1| です。ここで、Aは実対称行列であり、直行行列Pを用いて対角化しました。Aの固有値はλ=1,-1,5ですので、F(x,y,z)を標準化し、 G(u,v,w)=-u^2+v^2+5w^2 という形にしました。また、(1)式の分母も、u^2+v^2+w^2という形に変換できると思いますので、(1)式は G(u,v,w)/(u^2+v^2+w^2) ((u,v,w)≠(0,0,0)) -----------(2) という(2)の上限、下限を求めればよいとなると思います。 上記のとこまで変換できたのですが、肝心の上限下限をもとめることができません。どなたかご教授していただけないでしょうか？よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 拡散方程式と波動方程式の初期値・境界値問題です。
よろしくお願いします。 １、正方形領域 0≦x≦π、0≦y≦πにおいてu(x,y,t)に関する以下の拡散方程式の初期値・境界値問題を考える。 u_t＝u_xx＋u_yy …(1) u(x,0,t)＝u(x,π,t)＝u(0,y,t)＝u(π,y,t)＝0 …(2) u(x,y,0)＝x(π－x)y(π－y) …(3) (1)m,nが自然数のとき、f_(m,n)(t)sin(mx)sin(ny)が(1)を満足する特解であるとする。（f_(m,n)：添え字） f_(m,n)(t)を求めよ。ただしf_(m,n)(0)＝1とする。 (2)(1)、(2)、(3)を満足する解をu(x,y,t)＝Σ(∞、m,n＝1)a_(m,n)f_(m,n)(t)sin(mx)sin(my)とする。 a_(m,n)を求めよ。 ２、同じ方法を用いて、正方形領域 0≦x≦π、0≦y≦πにおける以下の波動方程式の初期値・境界値問題の解u(x,y,t)を求めよ。 u_tt＝u_xx＋u_yy …(4) u(x,0,t)＝u(x,π,t)＝u(0,y,t)＝u(π,y,t)＝0 …(5) u(x,y,0)＝x(π－x)y(π－y)、u_t(x,y,0)＝0 …(6)
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分と、極限の問題です。
次の問題をお教えください。 １)ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)，ｘ＝uv,y=u^2 +v^2のとき、∂ｚ/∂ｕ，∂ｚ/∂ｖを求めよ。ですが、 変数変換の公式、∂ｚ/∂u＝∂ｚ/∂ｘ ∂ｘ/∂ｕ＋∂ｚ/∂ｙ ∂y/ ∂zを使うのでしょうが、ｚが、ｆ（ｘ，ｙ)の形になっているので足り方がわかりません。どうしたらよいのでしょうか。 ２)ｌｉｍ ｘ→∞ｘ＾ｎ/ｅ＾ｘの値を求めよ。 この問題は全くわかりません。とくに、ｘ＾ｎのｎがどうなるかが。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分の問題について
（１） ｘ＝ｕ×ｃｏｓＡ－ｖ×ｓｉｎＡ ｙ＝ｕ×ｓｉｎＡ＋ｖ×ｃｏｓＡ Ａが定数のとき、ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）に対して，次の等式を示せ。 （ｚｘ）＾２＋（ｚｙ）＾２＝（ｚｕ）＾２＋（ｚｖ）＾２ （２） ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ） ｕ＝ｘ＋ｙ ｖ＝ｘ－ｙ この時、ｚｕとｚｖをｆｘ、ｆｙを用いて表せ。 （３） Ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）が１変数の関数ｇ（ｔ）を用いて、ｚ＝ｇ（ｘ＋ｙ）と書ける必要十分条件は、ｆｘ（ｘ，ｙ）＝ｆｙ（ｘ，ｙ）である事を示せ。 （４） ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ） ｘ＝ｒ×ｃｏｓＡ ｙ＝ｒ×ｓｉｎＡ この時、ｚｒとｚＡをｆｚ、ｆｙを用いて表せ。 （５） ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）がｚ＝ｇ（ｒ）（ｒ＝ＳＱＲ（Ｘ＾２＋Ｙ＾２））と書き表させる必要十分条件は、ｙ×ｆｘ＝ｘ×ｆｙである事を示せ。 （１）～（５）の問題の過程及び解法が分からず困っています。 ご教授お願いしたいです。 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 波動方程式の導き方
電磁気学に関する質問です。次のように、z方向に伝搬定数βで進行し、角周波数ωで進行する波について E=E0(x,y)exp(jωt-βt)・・・(1) H=H0(x,y)exp(jωt-βt)・・・(2) 直交座標系(x,y,z)における波動方程式と円筒座標系(r,φ,z)における波動方程式を求めたいです。 (1),(2)式をマクスウェルの法則に代入して、x,y,z成分に関する式を求めて、式変形によりEx,Ey,Hx,HyをそれぞれEz,Hzを用いて導く事はできました。その後、どのような計算方法で波動方程式を求めればいいのかわかりません。できるだけ計算過程を詳しく教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
お礼
ありがとうございmath