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数I 因数分解
宿題でこのような問題が出されました x³+y³+8z³-6xyzを因数分解せよ 似たような公式で a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) がありますが、関係あるのですか…? 解説・答えがないので ご解説お願いします
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簡単に言えば、-6xyz=-3xy・2zで、(2z)^3=8z^3。即ち、cを2zに置き換えれば因数分解できる。
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まずは、 a^2+b^2+c^2-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) になることを確認します。 ただ丸暗記するのではなく、なぜこうなるのかを理解することが重要です。 a^3+b^3 =(a+b)^3-3a^2b-3ab^2 =(a+b)^3-3ab(a+b)※1 =(a+b){(a+b)^2-3ab} =(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) =(a+b)(a^2-ab+b^2)※2 であるから、 a^3+b^3+c^3-3abc =(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc(※1の形を利用) ={(a+b)^3+c^3}-{3ab(a+b)+3abc} ={(a+b)+c}{(a+b)^2-(a+b)c+c^2}-3ab{(a+b)+c}(※2の形を利用) =(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) あとは、この式において、a=x、b=y、c=2zとすると、 x^3+y^3+(2z)^3-3*x*y*2z =x^3+y^3+8z^3-6xyz-与式 =(x+y+2z){x^2+y^2+(2z)^2-xy-y*2z-2zx} =(x+y+2z)(x^2+y^2+4z^2-xy-2yz-2zx)-答え
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- info222_
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No.1です。 [別解] x³+y³+8z³-6xyz=(x+y)(x²+y²-xy)-6xyz+8z³ =(x+y+2z)(x²+y²-xy)-2z(x²+y²-xy)+8z³ =(x+y+2z)(x²+y²-xy-2(x+y)z+4z²) =(x+y+2z)(x²+y²+4z²-xy-2xz-2yz)
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- info222_
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>x³+y³+8z³-6xyzを因数分解せよ >似たような公式で >a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) この公式を適用すれば a=x, b=y, c=2z とおいて x³+y³+8z³-6xyz=左辺=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) =(x+y+2z)(x²+y²+4z²-xy-2yz-2zx) と因数分解できます。
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