中学受験算数 規則の問題

質問

(1)は１円硬貨、(10)は１０円硬貨を表しています。ある規則に従って１円硬貨と１０円硬貨をしたの図（添付画像）のように並べていきます。

６２５枚の硬貨を並べた図にある硬貨の金額の合計はいくらですか。

答えは、３２１７円です。

規則が取り出せず、まいっています。

回答No.2

noname#227653 · ベストアンサー

いわゆる方陣算ですね。
方陣算では、外側に行くごとに石や硬貨の個数が8個ずつ増えるということが大切です。
ただし、このような置き方をする場合は、最初だけが例外になります。

まず、１個の硬貨を置きます。これを１列目と呼ぶことにします。
次に、その周りに8個の硬貨を置きます。これを２列目とします。1列目と2列目の差は7ですね。
次に、その周りに硬貨を置きます。これは16個となります。これを3列目とすると、2列目と３列目の差は8ですね。
更にこの周りに硬貨を置き、これを4列目とすると、硬貨の数は24個ですから、やはり8個増えています。
というわけで、1列目から順に個数を書き並べると、1個、8個、16個、24個、32個…となります。つまりこれは、最初の1以外は差が8の等差数列ですね。

そして、硬貨の個数は全部で625個で、これは25×25ですから、いちばん外側の一辺は25個です。そして、このときいちばん外側の一周分の個数は(25－1)×４＝96個です（これがよくわからない場合は、方陣算の基本を確認して下さい）。
そして、96÷8＝12ですから、この96個は12＋1の13列目ということになります。

この後は書き出してしまった方が楽です。もちろんきちんと計算して出す方法もありますし、本当はそれもできなければならないのですが、実際の入試に対応することを考えると、13個の数字なら書いてしまった方がいいでしょう。
1から96までの13個の数を、１円玉の列と10円玉の列に分けて書き出します。
すると、1円玉の列は1、16、32、48、64、80、96となり、10円玉の列は8、24、40、56、72、88となります。
1円玉の個数の和は、1＋(16＋96)×6÷2で337個ですから、金額も337円です。
10円玉の個数の和は、(8＋88)×6÷2で288個ですから、金額は2880円です。
合計で3217円になりますね。

お礼

詳しい解説をありがとうございました。助かりました。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

625=25×25 である。
1番目は一辺1、2番目は一辺3、3番目は一辺5、…と続くので、一辺25の正方形になるのは13番目の図形。
13番目の図形は
中心に1個の1円
中心から2番目の正方形の周に8個の10円
中心から3番目の正方形の周に16個の1円
中心から4番目の正方形の周に24個の10円
中心から5番目の正方形の周に32個の1円
中心から6番目の正方形の周に40個の10円
中心から7番目の正方形の周に48個の1円
中心から8番目の正方形の周に56個の10円
中心から9番目の正方形の周に64個の1円
中心から10番目の正方形の周に72個の10円
中心から11番目の正方形の周に80個の1円
中心から12番目の正方形の周に88個の10円
中心から13番目の正方形の周に96個の1円
が並ぶので、金額の合計は
(1+16+32+48+64+80+96)×1+(8+24+40+56+72+88)×10=337+2880=3217円 … 答

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。