x^(n+1)/(n+1)!の極限について

質問

nを無限までもっていくときのx^(n+1)/(n+1)!ははさみうちの定理を用いてどのように証明すればよいのでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.2

jcpmutura

任意の正数ε>0に対して
2|x|<kとなる自然数kが存在する
|x|^(k+1)/(k+1)!=C
とする
n_0>max{C(2^k)/ε,k}
となる自然数n_0が存在する
n>n_0となる任意の自然数nに対して
k+2≦j≦n+1となる自然数jに対して
|x|/(n+1)≦|x|/j≦|x|/(k+2)<|x|/(k+1)<|x|/k<1/2
だから
|x^(n+1)/(n+1)!|
=|x|^(n+1)/(n+1)!
=|x|^(k+1)|x|^(n-k)/[{(k+1)!}Π_{j=k+2～n+1}j
=C|x|^(n-k)/Π_{j=k+2～n+1}j
<C/2^(n-k)
=C(2^k)/2^n
<C(2^k)/n
<C(2^k)/n_0
<ε
∴極限の定義から
lim_{n→∞}x^(n+1)/(n+1)!=0

極限の定義)
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|x^(n+1)/(n+1)!|<ε
となる時
lim_{n→∞}x^(n+1)/(n+1)!=0
という

回答No.1

tmpname

x > 0とします

書きにくいので、n+1 = mとおいておくと：
M>= xなる最小の正整数Mを取った時、m>Mなる正整数mに対し、

(x^m) / (m!)
= (x^M) / (M!) * (x/(M+1)) * (x/(M+2)) * ... * (x/(m-1)) * (x/m)
≦ [(x^M) / (M!) ] * (M/(M+1)) * (M/(M+1)) * ..... * (M/(M+1)) [後ろの(M/(M+1))はm-M個]
= [(x^M) / (M!) ] * ((M+1)/M)^M * ((M/(M+1))^m

[(x^M) / (M!) ] * ((M+1)/M)^M はmによらない正定数なので、これをKとおくと、
0 <= (x^m) / (m!) <= K * ((M/(M+1))^m

0 < M/(M+1) < 1に注意。