極限値
θ→0になる時sinθ/θは1に近づく事を次のように証明した。
中心O, 半径rからなる円に内接する正n角形の一辺をABとし、∠AOBの二等分線とABとの交点をM, 円の弧ABとの交点をN, ∠AOB=(2π/n)=2θとする。
AB=2AM=2rsinθ
弧AB=r*2θ=2rθ
(AB)/(弧AB)=(2rsinθ)/(2rθ)=(sinθ)/θ
よって、n角形の周をp, 円周をcとすれば、p=n*AB, c=n*弧ABであり、p/c=AB/弧AB=sinθ/θとなる。 内接n角形の周pはnを限りなく大にする時、つまりθを限りなく小にする時、円周cに近づくので、lim(n→∞) p/c=1, lim(θ→+0)sinθ/θ=1となる。
以上は正2n角形の一角θ=π/nとして零に収束する場合である。
次にθが正の小なる角である場合を考える。
π/(n+1) ≦ θ < π/nを満たす正整数nを取ると、sin{π/(n+1)} ≦ sinθ < sin(π/n)
よって、[sin{π/(n+1)}]/(π/n) < sinθ/θ < {sin(π/n)}/{π/(n+1)}となり、この左辺及び右辺はθ→+0(n→∞) の時1に収束するからlim(θ→+0) sinθ/θ=1となる。
質問です。
まず、sin{π/(n+1)} ≦ sinθ < sin(π/n) の不等式がなぜ[sin{π/(n+1)}]/(π/n) < sinθ/θ < {sin(π/n)}/{π/(n+1)}となるのでしょうか?
また、『この左辺及び右辺はθ→+0(n→∞) の時1に収束するから』とありますが、なぜ1に収束するのか分かりません。左辺について[sin{π/(n+1)}]/(π/n)は、(n/π)*sin{π/(n+1)}と変形できるはずなので、θ→+0(n→∞)の時、∞に発散するのではないのでしょうか?
右辺も同様です。
詳しい方教えてください。
