数学log（ロガリズム）の解法を教えて下さい。

質問

大人になってから数学を学びなおす必要が出てきましたが、
下記の理屈が分かりません。どなたか説明お願い致します。
log10(2)は、10をn乗したら2になると考えて、そのnを求める関数。
log10(2)=0.3010
10^0.3010=2

log10(3)は、10をn乗したら3になると考えて、そのnを求める関数。
log10(3)=0.4771
10^0.4771=3

回答No.6

mitoneko · ベストアンサー

もしかすると、理解できないのは、logの逆関数の意味では無く、「10^0.4771ってなによ。0.4771回掛けるって、どういうことよっ！」という事かしら？
　これ、多分、中学・高校の数学で、定義をだまくらかして進んだものだから（だまくらかしているのは教科書です。というか、だまさざるをえないのです。ちゃんと定義するには、極限と微分が必要になり、これこの段階では習ってないから。）、理解できない数値になっているのでは？
　まずは、関数で数値を定義する。数式で数値を定義することを覚える必要があります。

　例えば、√2を、x^2=2という方程式の正の解と定義します。（これは理解できますね。）
　拡張して、任意の自然数nに対して、方程式x^2=nの正の解を√nと定義します。
　こうしておけば、さらにnを実数や複素数にそのまま拡張することが可能です。

　冪乗も同じように定義域を拡張していく必要があります。
　簡単にまとめると、まずは、x^nで、nが自然数の時に、指数法則が成り立つことを理解し、次ぎに、指数法則が成立する関数としてx^nを定義し直すと、nを有理数まで拡張できます。そして、x^nがなだらかな連続関数であると定義すると、nを実数まで拡張できます。かくして、10^0.4771…という謎の数字が何であるかが現れてくると言うのが本来の進み方なんです。最後の実数への拡張の際に微積分か極限の知識が必要になります。
　このx^nの定義の拡張の経過は、例えば、以下のサイトがわかりやすいでしょうか。
　http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/bec40a34701bf0c7375bad3ae12227ca

　さて、これで、10^0.4771…が解消していれば・・・
　10^n=2の方程式を満たすnをlog10(2)と定義します。の定義の意味が見えてきませんか？
　先に、√2の定義をお見せしました。同じ形ですね。

お礼

返事が遅くなりまして申し訳ございません。

回答ありがとうございます。
全ての回答の中で、恐らくですが、私が質問した趣旨に、
一番近い回答かと思いますので、ベストアンサーとさせていただきます。

皆様から頂いた回答を元に、勉強してから再度質問させていただきます。

回答No.5

178-tall

< ANo.4
錯誤の訂正

(実は、LN(2) = 0.6931 ... )

回答No.4

178-tall

>log10(2)は、10をn乗したら2になると考えて、そのnを求める関数。
>log10(2)=0.3010
>10^0.3010=2

自然対数 (LN) を踏み台とするのが一法…。

[定義] から、
　LN(x) = Y → x = e^Y
　log_10(x) = y → x = 10^y = e^{ y*LN(10) }
　　　　↓
　Y = y*LN(10) → y = Y/LN(10)

たとえば Pade 近似式
　LN(x)≒2(x-1)/(x+1)
を使うと、
　LN(2)≒2/3 = 0.6666 ...
(実は、LN(2)≒2/3 = 0.6931 ... )

近似誤差を減らすには、たとえば 2 を 1/k 乗して、近似結果を k 倍する。
例 : k=2 。
　LN(2) = 2*LN{ 2^(1/2) } ≒ 2*0.3431 ... = 0.6863 ...
(cf. LN(2)≒2/3 = 0.6931 ... )
近似誤差を減らそうとすると、平方根計算の繰り返しを強要されます。
( LN(10)≒2.3026 ... の勘定も同様 。log_10(2) = LN(2)/LN(10) )

副産物は、対数勘定に慣れてくる？ … ことぐらい。

回答No.3

staratras

以下の回答ではeを底とする自然対数をlnで、10を底とする常用対数をlogでそれぞれ表記します。

大まかに見当をつけるだけで良ければ、10^(1/4)=√(√10)≒1.78 10^(1/3)=∛10≒2.15　だから　1/4<log2<1/3 ですが、完全な手計算でも、log2≒0.301　程度の近似値は容易に求めることができます。別の問題の回答で、下の(1)の式を使ってln2の値を求めましたが、少し手を加えればlog2の値も求められます。

ln(n+1)-ln(n)=2{(1/(2n+1)+1/3(2n+1)^3+1/5(2n+1)^5+…}　…(1)
上の(1)式にn=1 を代入して第3項までの和を求めると
ln2≒2{1/3+1/(3・3^3)+1/(5・3^5)≒0.693　　

したがって　ln4=2ln2≒1.386

(1)式に　n=4を代入して第3項まで求めると
ln5-1.386≒2{1/9+1/(3・9^3)+1/(5・9^5)}≒0.224
したがって　ln5≒1.61　ln10=ln2+ln5≒2.303

log2=ln2/ln10≒0.693/2.303≒0.301

http://okwave.jp/qa/q9163006.html

回答No.2

trytobe

いったん、計算が楽な例で理解しておいて、

log10(10000)=4
10^4=10000

これを、１００００と４を相互変換している、というイメージをするために、

log10( a ) = b
10^b = a

としたら、log10(2) も log10(3) も log10(10000) も同じだと感じられませんか。

回答No.1

alain13juillet

y=a^xとなるときに、
x=loga(y)と定義したので、理屈も何もありません。
log10(2)≒0.301029995
log10(3)≒0.477121254
と無理数なので、近似値を使用しているだけです。