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アークタンジェントの計算について
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#1です。 ＞よって tan(x/2)=tan(x/2) のところをもう少し教えてください。 tan^-1(tan(x/2)=x/2 tan(x/2)=tan(x/2) 上記ふたつのしきが等しいということでしょうか tan^-1(tan(x/2)=x/2 の左辺に前からtanを働かせると tan[tan^(-1)tan(x/2)] となり一番左のtanと[ ]の中のtan^(-1)が相互に逆演算青で打ち消しあって消滅し、[ ]の中のtanだけが残るということです。 当然、右辺にもtanを働かせなければならないのでその結果右辺は tan(x/2)となり、結果として右辺も左辺もtan(x/2)になった。同じもの同士は等しいので、この結論に至った前の段階も正しい。つまり tan^-1(tan(x/2)=x/2 も正しいという意味です。
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- jcpmutura
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#3です。訂正します y=arctan{tan(x/2)} として両辺のtanをとると tan(y)=tan[arctan{tan(x/2)}]=tan(x/2) tan(y)-tan(x/2)=0 ={sin(y)/cos(y)}-{sin(x/2)/cos(x/2)} ={sin(y)cos(x/2)-sin(x/2)cos(y)}/{cos(y)cos(x/2)} =sin(y-x/2)/{cos(y)cos(x/2)}=0 だから sin(y-x/2)=0 だから整数nに対して y-x/2=nπ y=x/2+nπ y=arctan{tan(x/2)}だから ∴ arctan{tan(x/2)}=(x/2)+nπ -π<x<πの時 -π/2<-x/2<π/2 arctanの値域は -π/2<arctan{tan(x/2)}<π/2 だから -π/2<(x/2)+nπ<π/2 だからこれに-π/2<-x/2<π/2を加えると -π<nπ<π だから -1<n<1 だからnは整数だから n=0 だから ∴ arctan{tan(x/2)}=x/2
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訂正ありがとうございました。返信が遅くなり申し訳ないです。 これからもよろしくお願いします。
- jcpmutura
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t=x/2 tan(t)の定義域が -π/2<t<π/2 であれば arctan{tan(t)}=t がいえますが、 tan(t)の定義域が 整数nに対して -π/2+nπ<t<π/2+nπ ↓の場合は arctan{tan(t)}=t-nπ となります。 tan(x/2)の定義域が -π/2<x/2<π/2 であれば -π<x<π y=arctan{tan(x/2)} とするとarctanの値域は -π/2<y<π/2 y=arctan{tan(x/2)} の両辺のtanをとると tan(y)=tan[arctan{tan(x/2)}]=tan(x/2) tan(y)-tan(x/2)=0 ={sin(y)/cos(y)}-{sin(x/2)/cos(x/2)} ={sin(y)cos(x/2)-sin(x/2)cos(y)}/{cos(y)cos(x/2)} =sin(y-x/2)/{cos(y)cos(x/2)}=0 だから sin(y-x/2)=0 だから整数nに対して y-x/2=nπ -π/2<y<π/2 -π/2<-x/2<π/2 だから -π<y-x<π だから -π<nπ<π だから -1<n<1 だから n=0 だから y-x/2=0 だから y=x/2 ∴ arctan{tan(x/2)}=x/2
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- bran111
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tan^-1(tan(x/2)=x/2 tanとtan^(-1)は逆演算です。従ってこれを続けて行うと元に戻るわけです。 見方を変えて、両辺のtanをとります。 tan[tan^(-1)]も逆演算を続けて行っているのでこの部分は消えます。 よって tan(x/2)=tan(x/2)
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回答ありがとうございました。 >よって tan(x/2)=tan(x/2) のところをもう少し教えてください。 tan^-1(tan(x/2)=x/2 tan(x/2)=tan(x/2) 上記ふたつのしきが等しいということでしょうか
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