どう解いたらよいのでしょうか？解説もお願いします。

質問

どう解いたらよいのでしょうか？解説もお願いします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

＊発想
|sin nx|は、nが大きくなると凄く激しく振動するので、|sin nx|が0となったxから、次に0となるxまでの間は、x^2の方は「ほとんど変化しない」と考えられる。
そうすると、このxの間については、x^2の方はほぼ一定値として評価するとうまくいくのでは？

＊というわけで真面目に評価する。
sin nx = 0⇔ x = kπ (kは自然数）なので、

∫[o,π] x^2 sin(nx) dx = Σ[0 ≦ k ≦ n-1] ∫ [ (k/n)π, ((k + 1)/n)π] x^2 |sin nx| dx
ここで、
∫ [ (k/n)π, ((k + 1)/n)π] |sin nx] dx = 2/nで（確認してください）、
x^2はx≧0で単調増加だから、

Σ[0 ≦ k ≦ n-1] ∫ [ (k/n)π, ((k + 1)/n)π] ((k/n)π)^2 |sin nx| dx
≦ Σ[0 ≦ k ≦ n-1] ∫ [ (k/n)π, ((k + 1)/n)π] x^2 |sin nx| dx
≦ Σ[0 ≦ k ≦ n-1] ∫ [ (k/n)π, ((k + 1)/n)π] (((k+1)/n)π)^2 |sin nx| dx

第1項は、 (2 (π^2) /(n^3)) Σ[0 ≦ k ≦ n-1] (k^2)
第3項は、 (2 (π^2) /(n^3)) Σ[0 ≦ k ≦ n-1] ((k+1)^2)
であって、これは計算できるので、あとは極限を取るだけ。

お礼

ありがとうございます！こういう不等式での考え方は思いつきませんでした！^_^;

回答No.1

info222_

>どう解いたらよいのでしょうか？解説もお願いします。
収束するようですから
nを増やしながら、数値計算する方法で計算してみると
n=85以上あたりまで計算してみると　積分値=6.57964‥‥
位に収束してきました。

（参考）計算に利用したサイト：www.wolframalpha.com