三角関数の積分の問題です

質問

写真の積分の和の求め方を教えてください。

回答No.2

jcpmutura

f
=sinxsiny(u+v)/g^{3/2}
=2sinxsiny{(bcosx+acosy)cosy+a(siny)^2}/g^{3/2}
=[2sinxsiny{(bcosx+acosy)cosy}+2sinxsiny{a(siny)^2}]/g^{3/2}
=2sinxsiny{(bcosx+acosy)cosy}/g^{3/2}+2sinxsiny{a(siny)^2}/g^{3/2}
=2sinysinx{cosy(bcosx+acosy)}/g^{3/2}+2sinx{a(siny)^2}siny/g^{3/2}
=2siny(sinxcosy)(bcosx+acosy)/g^{3/2}+2sinx{a(siny)^3}/g^{3/2}
=2siny(cosysinx)(bcosx+acosy)/g^{3/2}+2{a(siny)^3}sinx/g^{3/2}
=2sinycosy{sinx(bcosx+acosy)}/g^{3/2}+{2a(siny)^3}sinx/g^{3/2}

g=(a^2-b^2)(siny)^2(1+z^2)
↓
g^{3/2}
={(a^2-b^2)(siny)^2(1+z^2)}^{3/2}
=(a^2-b^2)^{3/2}{(siny)^2}^{3/2}(1+z^2)^{3/2}
=(a^2-b^2)^{3/2}{(siny)^3}(1+z^2)^{3/2}

(sinx)dx=(-1/b){√(a^2-b^2)}(siny)dz
↓
(sinx)dx/g^{3/2}
=(-1/b){√(a^2-b^2)}(siny)dz/[(a^2-b^2)^{3/2}{(siny)^3}(1+z^2)^{3/2}]
=(-1/b)dz/[(a^2-b^2){(siny)^2}(1+z^2)^{3/2}]
↓
∫_{0～π}f2dx
={2a(siny)^3}∫_{0～π}[sinx/g^{3/2}]dx
={2a(siny)^3}∫_{z0～z1}(-1/b)dz/[(a^2-b^2){(siny)^2}(1+z^2)^{3/2}]
=[-2asiny/{b(a^2-b^2)}]∫_{z0～z1}[1/{(1+z^2)^{3/2}]dz

お礼

jcpmuturaさん、前回質問したところ、私の拙い計算ミスであることがわかり、無事ご回答を理解することができました。本当にお世話になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

a>b>0
θ1=x
θ2=y
u=a+bcos(x+y)
v=a+bcos(x-y)
g=uv
f=sinxsiny/[u^{3/2}v^{1/2}]+sinxsiny/[u^{1/2}v^{3/2}]
S=∫_{0～π}∫_{0～π}fdxdy
f1=2sinycosysinx(bcosx+acosy)/g^{3/2}
f2={2a(siny)^3}sinx/g^{3/2}
S1=∫_{0～π}∫_{0～π}f1dxdy
S2=∫_{0～π}∫_{0～π}f2dxdy
とすると

dg=-2bsinx(bcosx+acosy)dx

(-1/b)dg=2sinx(bcosx+acosy)dx

u+v
=2a+2bcosxcosy
=2{(bcosx+acosy)cosy+a(siny)^2}

f
=sinxsiny(u+v)/g^{3/2}
=2sinxsiny{(bcosx+acosy)cosy+a(siny)^2}/g^{3/2}
↓
f=2sinycosy{sinx(bcosx+acosy)}/g^{3/2}+{2a(siny)^3}sinx/g^{3/2}
f=f1+f2
↓
S=∫_{0～π}∫_{0～π}(f1+f2)dxdy
S=S1+S2

x=0のときg=g0とすると
g0={a+bcos(y)}^2
x=πのときg=g1とすると
g1={a-bcos(y)}^2

∫_{0～π}f1dx
=(-1/b)sinycosy∫_{g0～g1}g^{-3/2}dg
=(2/b)(sinycosy)[g^{-1/2}]_{g0～g1}
=(2/b^2)[-2siny+asiny/(a-bcosy)+asiny/(a+bcosy)]

S1
=∫_{0～π}∫_{0～π}f1dxdy
=-(8/b^2)+(4a/b^3)log{(a+b)/(a-b)}

g
=uv
={a+bcos(x+y)}{a+bcos(x-y)}
=(bcosx+acosy)^2+(a^2-b^2)(siny)^2

0<y<πのとき
z=(bcosx+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}
とすると
dz=[-bsinx/{(siny)√(a^2-b^2)}]dx
(-1/b){√(a^2-b^2)}(siny)dz=(sinx)dx

x=0のときz=z0とすると
z0=(b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}
x=πのときz=z1とすると
z1=(-b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}

(a^2-b^2)(z*siny)^2=(bcosx+acosy)^2
↓
g
=(bcosx+acosy)^2+(a^2-b^2)(siny)^2
=(a^2-b^2)(z*siny)^2+(a^2-b^2)(siny)^2
=(a^2-b^2)(siny)^2(1+z^2)

∫_{0～π}f2dx
=∫_{0～π}[{2a(siny)^3}sinx/g^{3/2}]dx
={2a(siny)^3}∫_{0～π}[sinx/g^{3/2}]dx
=
{2a(siny)^3}(-1/b){√(a^2-b^2)}(siny)
∫_{z0～z1}[1/{(a^2-b^2)(siny)^2(1+z^2)}^{3/2}]dz

=[-2asiny/{b(a^2-b^2)}]∫_{z0～z1}[1/{(1+z^2)^{3/2}]dz

z=tant
とすると
dz={1/(cost)^2}dt
1+z^2=1/(cost)^2

x=0のときt=t0とすると
t0=arctan[(b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}]
sin(t0)=(b+acosy)/(a+bcosy)

x=πのときt=t1とすると
t1=arctan[(-b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}]
sin(t1)=(-b+acosy)/(a-bcosy)

∫_{0～π}f2dx
=[-2asiny/{b(a^2-b^2)}]∫_{z0～z1}[1/{(1+z^2)^{3/2}]dz
=[-2asiny/{b(a^2-b^2)}]∫_{t0～t1}(cost)dt
=[2asiny/{b(a^2-b^2)}]∫_{t1～t0}(cost)dt
=[2asiny/{b(a^2-b^2)}][sint]_{t1～t0}
=[2asiny/{b(a^2-b^2)}][sin(t0)-sin(t1)]
=[2asiny/{b(a^2-b^2)}][(b+acosy)/(a+bcosy)-(-b+acosy)/(a-bcosy)]
=[2a/{b(a^2-b^2)}](siny)[(2a/b)+(b-aa/b)/(a+bcosy)+(b-aa/b)/(a-bcosy)]

S2
=∫_{0～π}∫_{0～π}f2dxdy
=[4a/{b^3(a^2-b^2)}[(2ab)+(b^2-a^2)log{(a+b)/(a-b)}]
=8a^2/{b^2(a^2-b^2)}-(4a/b^3)log{(a+b)/(a-b)}]

S
=S1+S2
=-(8/b^2)+(4a/b^3)log{(a+b)/(a-b)}]+8a^2/{b^2(a^2-b^2)}-(4a/b^3)log{(a+b)/(a-b)}]
=-(8/b^2)+8a^2/{b^2(a^2-b^2)}
={-8(a^2-b^2)+8a^2}/{b^2(a^2-b^2)}
=
8/(a^2-b^2)

お礼

jcpmuturaさん、ご回答ありがとうございました。ただ、計算がフォローできないところが2か所あるのです。
１つは、
2sinxsiny{(bcosx+acosy)cosy+a(siny)^2}/g^{3/2}
=2sinycosy{sinx(bcosx+acosy)}/g^{3/2}+{2a(siny)^3}sinx/g^{3/2}
が私の計算では等号でどうしても結べないのです。

もう１つは、
私の計算ではどうしても、
∫_{0～π}f2dx
=(-2a√(a^2-b^2)siny)/b ∫_{z0~z1}dz/(1+z^2) ^3/2
となってしまうのです。

この2か所だけ、詳細に計算方法を教えていただけないでしょうか？