なぜ√zの定義には2葉のリーマン面が要るの?

質問

複素関数f(z)=√zでなぜリーマン面なるものを導入するのか分りません。

実関数の例ではf:R→2^R;f(y)={±√y}などが2価関数ですよね。この時の分枝は
(ア) g_1(y):=√yとg_2(y):=-√y
や
(イ) g_1(y):=√y if 0≦y<1,-√y if 1≦yとg_2(y):=-√y if 0≦y<1,√y if 1≦y
など色々,無数に定義できますよね。
そして出来るだけ不連続点や微分不能点が少なくなるように分枝を選ぶしきたり(?)なのですよね。よってf(y)={±√y}の例では(ア)を分枝とする。

さて,f(z)=√zに話を戻すと,普通に考えて,√zは極座標で定義されて2つの点{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}を表しますから
(z=0以外定義域の各点の像が単集合とならず複数元を持つ集合となる場合に多価関数と呼ぶ)
f:C→2^Cを
√z:={√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))} if z≠0, {0} if z=0. 但し,-π<θ≦π.
と定義すればいいのではないかと思います。
この時,簡単なために{z∈C;|z|=1}で話を進めると,

連続性に関しては
z=-1の時,θ=πで
lim_{z→-1}√z=lim_{θ→π-0}{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}
=lim_{θ→π-0}{√|-1|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|-1|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}
={±i}=f(-1)
であり,他方
lim_{θ→-π+0}{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}
={±i}=f(-1)
なので,f(z)=√zはz=-1で連続。
lim_{z→0}f(z)=lim_{z→0}{√|z|(cos(θ/2)+isin(θ/2)),√|z|(cos(θ/2+3π)+isin(θ/2+3π))}={0}=f(0).
となるのでz)=√zはz=0でも連続。

微分可能性に関しては
d/dzf(z)|_{z=-1}=lim_{C∋h→0}(√(-1+h)-√-1)/h
=lim_{R∋h→-0}{[√|z|(cos((π+h)/2)+isin((π+h)/2))-|z|(cos(π/2)+isin(π/2))]/h,[√|z|(cos((π+h)/2+3π)+isin((π+h)/2+3π))-√|z|(cos(π/2+3π)+isin(π/2+3π))]/h}
={±i/2}
同様にlim_{R∋h→+0}の場合も
lim_{R∋h→+0}{[√|z|(cos((-π+h)/2)+isin((-π+h)/2))-|z|(cos(-π/2)+isin(-π/2))]/h,[√|z|(cos((-π+h)/2+3π)+isin((-π+h)/2+3π))-√|z|(cos(-π/2+3π)+isin(-π/2+3π))]/h}
={±i/2}となるのでf(z)=√zはC＼{0}で微分可能となります。

これではどうしてダメなのでしょうか?

どうしてarg(z)は(-π,π]と(π,3π]のわざわざ2価関数であるとして,2葉のリーマン面(C＼{0})^2が必要なのかわかりません。
1葉の面に2つとも載せたらどういう不都合が起こるのでしょうか?

回答No.4

jcpmutura

2^C=(Cの全部分集合の集合)
f:C→2^C
z=|z|e^{iθ}
-π≦θ≦π
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
と定義しても
2^C内に通常の距離を定義できないという不都合が生じ
連続という概念が使えなくなり
連続が使えなければ
微分という概念も使えなくなります。
したがって、
連続の概念を使う場合は、
√|z|e^{iθ/2}
と
√|z|e^{i(θ/2+π)}
を別の関数にする必要があるのです。

例えば
Μ={A⊂C;|A|=1又は|A|=2}=(Cの要素数1か2の部分集合の集合)⊂2^C
とする
Μ上の距離dを
d:Μ×Μ→R
要素数1の集合の距離
d({a},{b})=|a-b|
要素数1と要素数2の集合の距離
d({a},{b,c})=|(a-b,a-c)|=√(|a-b|^2+|a-c|^2)
d({a,b},{c})=|(a-c,b-c)|=√(|a-c|^2+|b-c|^2)
要素数2の集合の距離
d({a,b},{c,d})=min(|(a-c,b-d)|,|(a-d,b-c)|)
と定義すれば
fは連続となるかもしれませんが
集合{0}は集合{0,1}に含まれ
{0}⊂{0,1}
だから直感的に距離は0と考えるのだ
けれども
距離の定義から
d(x,y)=0→x=y
x≠y→d(x,y)>0
だから
集合{0}と集合{0,1}の距離は
d({0},{0,1})=1>0
となります。

補足

ご回答誠に有難うございます。拝読させていただきました。

> 例えば
> Μ={A⊂C;|A|=1又は|A|=2}=(Cの要素数1か2の部分集合の集合)⊂2^C
:
> d({0},{0,1})=1>0
> となります。

複素数にどんな大小関係を導入しても不都合が生じるように,どう集合間の距離を定義しても不都合が生じるのですね。

実関数でリーマン面を例える事が難しいのですね。

> 連続の概念を使う場合は、
> √|z|e^{iθ/2}
> と
> √|z|e^{i(θ/2+π)}
> を別の関数にする必要があるのです。

(ア) g_1(y):=√yとg_2(y):=-√y
といった具合にですね。g_1とg_2が(0,∞)で微分可能な分枝ですね。y=0では微分不能。

(ウ) g_1(y):=√y if 0≦yは有理数, -√y if 0<yは無理数
とg_2(y):=-√y if 0≦yは有理数, √y if 0<yは無理数. g_1もg_2とも至る所で微分不能。

では出来るだけ微分可能な分枝の方がメリットが高そうだから,通例(?)は(ア)を採用。勿論,(ウ)を採用して議論するケースもあるでしょうが。

√zでも通例(?)は分枝と言ったらは連続的な(√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)})∈(C＼{0})^2…(エ)を採用するのですよね。

√z=(√|z|e^{iθ/2}, √|z|e^{i(θ/2+π)}) if Re(z)が有理数,(√|z|e^{i(θ/2+π)},√|z|e^{iθ/2}) if Re(z)は無理数…(オ)。
を採用したら至る所微分不能ですね。

従って, (エ)を採用し,φ_1(z):=√|z|e^{iθ/2},φ_2(z):=√|z|e^{i(θ/2+π)}は(-∞,0]以外では微分可能になる。めでたし,めでたし。

で√zの定義は完了したと思ってたら,この定義では決定的に困った問題に気づいたのですよね。数学者リーマンは。
故にリーマン面という新概念を導入せざる得なかったのですよね。

(エ)の定義で決定的に困った問題とは一体なんだったでしょうか???

それを一番知りとうございます。
何故リーマン面がそんなに必要だったのか。。。

回答No.3

jcpmutura

訂正します。
2^C=(Cの全部分集合の集合)
f:C→2^C
z=|z|e^{iθ}
-π≦θ≦π
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
が連続かどうかの前に
連続の定義を確認しなければなりません。
連続の定義1)
2^Cの任意の開集合Vに対してfの逆像
f^{-1}(V)がCの開集合となるときfは連続という
連続の定義2)
z∈C,
2^Cのf(z)の任意の近傍Vに対して
あるzの近傍Uが存在して
f(U)⊂Vとなるときfは連続という
連続の定義3)2^Cがdを距離とする距離空間ならば
a∈C,
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
z∈C
|z-a|<δ→d(f(z),f(a))<ε
となるときfは連続という

2^Cの位相あるいは距離を定義しなければなりません
2^C=(Cの全部分集合の集合)
なので
集合と集合の距離を定義しなければなりません
Μ={A⊂C;Aの要素数|A|が有限}=(Cの要素数有限の集合)⊂2^C
{A,B}⊂Μ
|A|≠|B|のときd(|A|,|B|)=||A|-|B||
S_nをn次置換群とする
|A|=|B|=n
A={a_k}_{k=1～n},B={b_k}_{k=1～n}
のとき
d(|A|,|B|)=min_{σ∈S_n}|(a_k-b_σ(k))_{k=1～n}|
と距離を定義すると
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
はz=0で不連続となりますが、

Μ={A⊂C;|A|=1又は|A|=2}=(Cの要素数1か2の部分集合の集合)⊂2^C
とする
Μ上の距離dを
d:Μ×Μ→R
要素数1の集合の距離
d({a},{b})=|a-b|
要素数1と要素数2の集合の距離
d({a},{b,c})=|(a-b,a-c)|=√(|a-b|^2+|a-c|^2)
d({a,b},{c})=|(a-c,b-c)|=√(|a-c|^2+|b-c|^2)
要素数2の集合の距離
d({a,b},{c,d})=min(|(a-c,b-d)|,|(a-d,b-c)|)
と定義すれば
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
は連続になりそうですが、
煩雑で扱いにくいので
2価関数
w=√z
をもっと扱い易くするために
リーマン面が必要なのです。
リーマン面が不要というのならば
2^Cの位相あるいは距離を定義しなければなりません

d:2^C×2^C→R
{A,B}⊂2^C→d(A,B)≧0
{A,B}⊂2^C,d(A,B)=0→A=B
{A,B}⊂2^C→d(A,B)=d(B,A)
{W,X,Y}⊂2^C→d(W,Y)≦d(W,X)+d(X,Y)
が成り立つとき
d(A,B)をAとBの距離というので
この条件を満たさなければ距離となりません。

補足

ご回答誠に有難うございます。

連続についてのご説明参考になっております。

採り合えず連続の話は置いといて,そもそもどうしてこのような疑問に至ったかと言うと,

先ず
対応(f:X→Y)の定義では像は部分集合に対して,使われる言葉で
φ≠A⊂Xのfによる像とはf(A)(⊂Y)と表記しますね。
そしてXの任意の単集合{a}のfによる像f({a})(⊂Y)が単集合の時,fは写像であると言いますよね。
特に,単集合の場合,像は"{ }"を省略してシンプルにf(a)と表記する事にしてるだけですよね。

それで
√zというのはz≠0では常に像は2点を持つので,
f:C→2^C
z=|z|e^{iθ}
-π≦θ≦π
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
という定義が一番自然ですよね。

常にz≠0なるzに対して,πラジアンずれた2点をプロットできるからです。

それなのに,√zをこのように解釈すると何か困るのかという説明がどの書籍にも載ってなくて,いきなりリーマン面の定義が始まってしまってます。

f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}という定義では何が不都合なのでしょうか?

こういった場合に不都合が生じるだからリーマン面が必要なのだという例などお教えいただけましたら幸いです。

回答No.2

jcpmutura

2^C=(Cの全部分集合の集合)
f:C→2^C
z=|z|e^{iθ}
-π≦θ≦π
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
が連続かどうかの前に
連続の定義を確認しなければなりません。
連続の定義1)
2^Cの任意の開集合Vに対してfの逆像
f^{-1}(V)がCの開集合となるときfは連続という
連続の定義2)
z∈C,
2^Cのf(z)の任意の近傍Vに対して
あるzの近傍Uが存在して
f(U)⊂Vとなるときfは連続という
連続の定義3)2^Cがdを距離とする距離空間ならば
a∈C,
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|z-a|∈C→d(f(z),f(a))<ε
となるときfは連続という

2^Cの位相あるいは距離を定義しなければなりません
2^C=(Cの全部分集合の集合)
なので
集合と集合の距離を定義しなければなりません
Μ={A⊂C;Aの要素数|A|が有限}=(Cの要素数有限の集合)⊂2^C
{A,B}⊂Μ
|A|≠|B|のときd(|A|,|B|)=||A|-|B||
S_nをn次置換群とする
|A|=|B|=n
A={a_k}_{k=1～n},B={b_k}_{k=1～n}
のとき
d(|A|,|B|)=min_{σ∈S_n}|(a_k-b_σ(k))_{k=1～n}|
と距離を定義すると
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
はz=0で不連続となりますが、

Μ={A⊂C;|A|=1又は|A|=2}=(Cの要素数1か2の部分集合の集合)⊂2^C
とする
Μ上の距離dを
d:Μ×Μ→R
要素数1の集合の距離
d({a},{b})=|a-b|
要素数1と要素数2の集合の距離
d({a},{b,c})=|(a-b,a-c)|=√(|a-b|^2+|a-c|^2)
d({a,b},{c})=|(a-c,b-c)|=√(|a-c|^2+|b-c|^2)
要素数2の集合の距離
d({a,b},{c,d})=min(|(a-c,b-d)|,|(a-d,b-c)|)
と定義すれば
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
は連続になりそうですが、
煩雑で扱いにくいので
2価関数
w=√z
をもっと扱い易くするために
リーマン面が必要なのです。
リーマン面が不要というのならば
2^Cの位相あるいは距離を定義しなければなりません
なお
d:2^C×2^C→R
{A,B}⊂2^C→d(A,B)≧0
{A,B}⊂2^C,d(A,B)=0→A=B
{A,B}⊂2^C→d(A,B)=d(B,A)
{W,X,Y}⊂2^C→d(W,Y)≦d(W,X)+d(X,Y)
が成り立つとき
d(A,B)をAとBの距離というので
この条件を満たさなければ距離となりません。

回答No.1

jcpmutura

2^R=(Rの全部分集合の集合)
なので
f:R→2^R;f(y)={±√y}
{±√y}はy>0で+√y,-√yの2つの要素からなる集合となる
集合{±√y}の要素数を#{±√y}とすると
y>0→#{±√y}=2
#{±√0}=#{0}=1
lim_{y→+0}#{±√y}=2≠1=#{±√0}
集合{±√y}の要素数
g:R→R;g(y)=#{±√y}
はy=0で不連続となる

f:R→R^2;f(y)=(√y,-√y)
g:R→R^2;g(y)=(-√y,√y)
とすると
f≠g
(fとgは別の関数となる)

-π≦θ≦π
z=|z|e^{iθ}
=|z|(cosθ+isinθ)
とすると2πが周期だから
z=|z|e^{i(θ+2nπ)}
=|z|{cos(θ+2nπ)+isin(θ+2nπ)}

√z
=√|z|√e^{i(θ+2nπ)}
=√|z|(e^{i(θ+2nπ)})^{1/2}
=√|z|e^{i(θ/2+nπ)}
=√|z|{cos(θ/2+nπ)+isin(θ/2+nπ)}
2πが周期だから
e^{iθ/2}=e^{i(θ/2+2kπ)}
e^{i(θ/2+π)}=e^{i(θ/2+(2k+1)π)}
また
e^{iθ/2}≠e^{i(θ/2+π)}
だから
√zはz≠0のとき2つの点
{√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
={√|z|{cos(θ/2)+isin(θ/2)},√|z|{cos(θ/2+π)+isin(θ/2+π)}}
を表す

2^C=(Cの全部分集合の集合)
なので
f:C→2^C
z=|z|e^{iθ}
-π≦θ≦π
f(z)={√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)}}
={√|z|{cos(θ/2)+isin(θ/2)},√|z|{cos(θ/2+π)+isin(θ/2+π)}}
f(z)はz≠0のとき2つの要素からなる集合となる
集合f(z)の要素数を#{f(z)}とすると
#{f(0)}=1
z≠0のとき#{f(z)}=2
となるから
lim_{0≠z→0}#{f(z)}=2≠1=#{f(0)}
だから
集合f(z)の要素数#{f(z)}は不連続となる

f:C→C^2
-π<θ<π,z=|z|e^{iθ}
→f(z)=(√|z|e^{iθ/2},√|z|e^{i(θ/2+π)})
と定義すると

lim_{θ→π-0}f(e^{iθ})
=lim_{θ→π-0}(e^{iθ/2},e^{i(θ/2+π)})
=lim_{θ→π-0}(e^{iπ/2},e^{i(3π/2)})
=(i,-i)

lim_{θ→-π+0}f(e^{iθ})
=lim_{θ→-π+0}(e^{iθ/2},e^{i(θ/2+π)})
=lim_{θ→-π+0}(e^{-iπ/2},e^{iπ/2})
=(-i,i)

lim_{θ→π-0}e^{iθ}=-1=lim_{θ→-π+0}e^{iθ}
だけれども
lim_{θ→π-0}f(e^{iθ})=(i,-i)≠(-i,i)=lim_{θ→-π+0}f(e^{iθ})
だから
f(-1)が定義できない

補足

ご回答誠に有難うございます。

> lim_{y→+0}#{±√y}=2≠1=#{±√0}
> 集合{±√y}の要素数
> g:R→R;g(y)=#{±√y}
> はy=0で不連続となる

元の個数の差異で不連続を証明する方法は初めて見ました。

lim_{y→+0}{±√y}={±√0}={lim_{y→+0}±√y}だから連続である.
としてはどうしてダメなのでしょうか?

> √z
> =√|z|√e^{i(θ+2nπ)}
> =√|z|(e^{i(θ+2nπ)})^{1/2}
:
> lim_{0≠z→0}#{f(z)}=2≠1=#{f(0)}
> だから
> 集合f(z)の要素数#{f(z)}は不連続となる

これはz=0の時のみ不連続でその他では√zは連続&微分可能なのですね?

,,,という事はやはりリーマン面は要らないのではないでしょうか?

> f:C→C^2
>-π<θ<π,z=|z|e^{iθ}
:
> f(-1)が定義できない

これについては納得です。