積分の問題の解答を教えてください

質問

∫√((1+x)/(1-x))dxの解答を過程を含めて教えてください！

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

Ｉ＝∫√((1+x)/(1-x))dx

u=√((1+x)/(1-x))とおく。

xについて解くと

x=(u^2-1)/(u^2+1)

dx/du=4u/(u^2+1)

I=∫√((1+x)/(1-x))dx=∫[4u^2/(u^2+1)^2]du

u=tantとおく。

u^2+1=1/cos^2t

du/dt=1/cos^2t

I=∫√((1+x)/(1-x))dx=∫[4u^2/(u^2+1)^2]du=4∫sin^2tdt=2∫(1-cos2t)dt

=2t-sin2t+c

t=arctanu=arctan√((1+x)/(1-x))

底辺＝√(1-x), 対辺=√(1+x), 斜辺＝2の直角三角形を考えると

sin2t=2sintcost=2(√(1+x)/2)( √(1-x)/2)=√(1-x^2)/2

I=2arctan√((1+x)/(1-x))-√(1-x^2)/2+c

お礼

思っていた以上に解答が長く、自分の力は及ぶはずがなかったのだと思い知らされました。
ありがとうございました！