100人の不倫妻の物語

質問

以下の問題は原文が英文なので、そのまま示しますが、最後に結論がありますが、それがなぜ起きるのか、論理的に説明してください。

This story concerns a village of 100 maried couples, who were all perfect
logicians but had somewhat peculiar social customs. Every evening the men of
the village would have a meeting, in a great circle around a campfire, and
each would talk about his wife. If when the meeting began a man had any
reason to hope that his wife had always been faithful to him, then he would
praise her virtue to all of the assembled men. On the other hand, if at any
time before the current meeting he had ever gotten proof that his wife had
been unfaithful, then he would moan and wail and invoke the terrible curse
of the (mail) gods on her. Furthermore, if a wife was ever unfaithful, then
she and her lover would immediately inform all of the other men in the
village except her husband. All of these traditions were common knowledge
among the people of this village.
In fact, every wife had been unfaithful to her husband. Thus, every husband
knew of every infidelity except for that of his own wife, whom he praised
every evening.
This situation endured for many years, until a traveling holy man visited
the village. After sitting through a session around the campfire and hearing
every man praise his wife, the holy man stood up in the center of the circle
of husbands and said in a loud voice, "A wife in this village has been
unfaithful." For ninety-nine evenings thereafter, the husbands continued to
meet and praise their wives, but on the hundredth evening they all moaned
and wailed and invoked the terrible curse.

簡単化のため、この問題の村人の男子の数が100人ではなく、A,B,Cの3人（したがって村人の数は彼らの配偶者をいれて6人）からなる場合について、説明してください。したがって、最後の結論部分は"For two evenings thereafter, the husbands continued to meet and praise their wives, but on the third evening they all moaned and wailed and invoked the the terrible curse."となります。　なお、妻たちの不倫の相手は同じ村の男とはかぎらない、外部の人間と考えてかまいません。質問文に不明な部分がある場合は遠慮なく質問をください。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

むしろ、不貞の妻の人数に注目すると良いです。
聖職者が、「この中に少なくとも一人不貞の妻がいる」、といった後の状況を考えます。

1. まず、不貞の妻の人数が1人の場合
A夫の妻A子が不貞としましょう。この時、A夫が知っていた情報を見ると、ルールにより自分の妻が不貞かどうかは知らされないので、A夫は「A子以外0人の妻が不貞」という情報を持っていました。
ところが、聖職者が「少なくとも一人不貞の妻がいる」と言ってしまったので、これによりA夫にはA子が不貞であることがわかります。よって、次の会議の時A夫はA子を呪う事になります。

補題1.
不貞の妻の人数が1人の場合、第1回目の会議で不貞の妻を持った夫（1人）が名乗り出て妻を呪う

2. 次に不貞の妻の人数が2人の場合
A夫、B夫の妻が不貞とします。
やはりA夫の情報に注目しますと、ルールにより自分の妻が不貞かどうかは知らされないので、A夫は「A子以外1人の妻（この場合B子）が不貞」という情報を持っていました。
この時、A夫はまだ不貞の人数が1人（自分の妻は不貞でない）か、2人（自分の妻は不貞である）か不明なので、第1回目の会議では名乗り出ません。A夫からすると、「もし実際は1人（自分の妻は不貞でない）だとすると、補題1から、第1回目の会議で不貞の妻を持った夫（この場合B夫）が名乗り出るはず」と思っているはずです。B夫も全く同様（「もし実際は1人（自分の妻は不貞でない）だとすると、補題1から、第1回目の会議で不貞の妻を持った夫（この場合A夫）が名乗り出るはず」と思っている）なので、B夫も第1回目の会議では名乗り出ません。結局、第1回目の会議ではだれも名乗り出ません。

この段階で、補題1の状況とは反することが分るので、A夫もB夫も不貞の妻は自分の妻を含めた2人であることがわかります。よって、第2回目の会議でA夫とB夫が名乗り出て、自分の妻を呪います。

補題2.
不貞の妻の人数が2人の場合、第2回目の会議で不貞の妻を持った夫（2人）が名乗り出て妻を呪う

3.不貞の妻の人数が3人の場合
A夫、B夫、C夫の妻が不貞とします。
同様に、A夫、B夫、C夫は、初めは不貞の妻が自分の妻を含めた3人か、それとも含めない2人か分からない状況です。A夫、B夫、C夫ともに、「もし不貞の妻の数が（自分の妻を含めない）2人だった場合、第2回目の会議で他の2人の夫が名乗りであるはず」と思っているので、第2回目の会議まではだれも名乗り出ません。
よって補題2の状況と差異がでるので、第3回目の会議でA夫、B夫、C夫が名乗り出て妻を呪う事になります。

補題3.
不貞の妻の人数が3人の場合、第3回目の会議で不貞の妻を持った夫（3人）が名乗り出て妻を呪う

以下同様です。

お礼

お見事！
村人の夫婦の組が３組しかいない場合は、３段階に分けるより直接示したほうが早いかもしれません。
・第１夜は各人は、ほかの2人の妻がクロである（不貞をはたらいた）ことを知っているが、自分の妻については情報がないので、全員自分たちの妻を賞賛する。
・これを見たAとBは、「CがA妻あるいはB妻の少なくともどちらかはクロであることを知っている」ことを知る。なぜなら、A妻とB妻がどちらもシロ（不貞でない）なら、少なくとも１人はクロである（聖者の言明）ので、Cの妻がシロではあり得ず、Cが妻を賞賛したことに矛盾するからである。
・しかし、AとBは妻たちの少なくともどちらかがクロであるとしても、自分の妻がクロとは断定できないので、第２夜も妻を賞賛する。同じことはCの妻についてもいえるので、Cも妻を賞賛し、全員が自分の妻を賞賛する。
・Aは、第２夜にBがB妻を賞賛するのを聞いて、A妻がクロであることを知る。なぜなら、A妻がシロなら、上のCを通ずる情報（A妻とB妻の少なくもいずれかはクロであるという情報）から、B妻がシロであることはあり得ないからだ。同様にして、BもCも自分たちの妻がクロであることを知り、第３夜は全員「呪う」ことになる。

以上は私の友人が私にくれた回答を少しmodifyしたものだが、回答者さんの回答のように「不貞妻」の数に注目したほうが不貞妻が100人の場合に拡張するとき容易かもしれません。つまり、数学的帰納法が適用しやすいかもしれません。
なお、この話の面白いところは一見すると聖職者の言明「この村には不貞妻が（少なとも1人は）いる」という言明は余分に見えることです。各人、ほかの人の妻が不貞であることを知っている（したがって少なくとも１人は不貞妻がいることを知っている）にかかわらず、聖職者の「言明」がないと、妻たちへの賞賛が永遠に続くことになるからだ。
この話は、Roger B. Myersonの"Game Theory: Analysis of Conflict"(1991,Harvard University Press)という本の65-66ページから引用したもので、Myersonはこの話を「有名な寓話」として紹介しています。Myersonは2007年度のノーベル経済学賞を受賞したゲーム理論家。