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トランプの組合せ、の話です。
ポーカーの役の組合せに関する質問です。 ジョーカーを除く１デッキ５２枚のカードを使ってポーカーをします。 ５枚のカードをランダムに取り出したとき、「全く役ができない」（ノーペアであり、フラッシュでもストレートでもないし、同じ数字のカードが２枚以上入らない）組合せの中で、 「最も高いランクのカードがA」の組合せ 以下、K,Q,J,10,9,8,7の組合せ（6は必ずストレートになるのであり得ない）。 それぞれの組合せ数を知りたいのです。 ネットで調べてみると、総組合せ数2598960のうち、ノーペアに該当する手が1302540存在することは分かっています。 よろしくお願い致します。
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まず、数字のみの組み合わせ数を考えます（柄は無視する） Aが頭の場合、順列組み合わせの式により 1x9+3x8+6x7+10x6+15x5+21x4+28x3+36x2+45x1=495 となります。この中にはA、K、Q、J、10とA、5、4、３、2の2組のストレートがありますから、2組減らして493にします。 柄の組み合わせは、4x4x4x4x4ですから1024。このうち、フラッシュが4通りありますから4組減らして1020にします。 数字と絵柄の組み合わせは、そのまま掛け算ですから493ｘ1020＝502860通り。 以下、同様に、ストレートを１組分減らして計算します。 Kが頭。1x8+3x7+6x6+10x5+15x4+21x3+28x2+36x1=330、329ｘ1020＝335580通り。 Qが頭。1x7+3x6+6x5+10x4+15x3+21x2+28x1=210、209ｘ1020＝213180。 Jが頭。1x6+3x5+6x4+10x3+15x2+21x1=126、125ｘ1020＝127500。 10が頭。1x5+3x4+6x3+10x2+15x1=70、69ｘ1020＝70380。 9が頭。1x4+3x3+6x2+10x1=35、34ｘ1020＝34680。 8が頭。1x3+3x2+6x1=15、14ｘ1020＝14280。 7が頭。1x2+3x1=5、4ｘ1020＝4080。 6が頭。1x1=1、0ｘ1020＝0。 合計、1302540通り。 ＞総組合せ数2598960のうち、ノーペアに該当する手が1302540存在することは分かっています。 合計値が合っていますから、上記で間違いないです。
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- chie65536（@chie65535）
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別解。 「まず数字のみで考える」は同じです。 Aを頭にする場合、Aは決まりですから残りの「A以外の４枚」を考えます。 A以外の４枚は「K、Q、J、10～2の12枚から4枚を選ぶ」のですから、単純に、12C4＝495で求まります。 495組からストレートになる2組を引いて、マークの組み合わせ数1020を掛けて、493ｘ1020＝502860。 Kを頭にする場合「K以外の４枚」を考えます。 K以外の４枚は「Q、J、10～2の11枚から4枚を選ぶ」のですから、単純に、11C4＝330で求まります。 330組からストレートになる1組を引いて、マークの組み合わせ数1020を掛けて、329ｘ1020＝335580。 以下、同様。
お礼
私が望んでいた通りの結果かと存じます。誠にありがとうございました。