数学、直交の分野に関することです。

質問

L={u∈L^2(-1,1);u(t)=u(-t)(-1<t<1)}
とすると、LはL^2(-1,1)の閉部分空間である。このとき、
L＾⊥＝｛u∈L^2(-1,1);u(t)=-u(t)(-1<t<1)}.
Lへの射影PLは
PLu(t)=1/2・（u(t)+u(-t)) (u∈L^2（-1,1)).

この時、2行目の閉部分空間になるのはなぜか、3行目L^⊥がこのように与えられるのはなぜか、5行目射影PLがこのようになるのはなぜか、について教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

pikaruche · ベストアンサー

L^2(-1,1)について考えますから、部分集合のtに関する条件はルベーグ測度での「ほとんど,いたるところ」
になります。例えば、L={u∈L^2(-1,1);u(t)=u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}です。

>閉部分空間になるのはなぜか、

L^2ノルムでLの関数列u_nがuに収束するとしますと、ある部分列u_nk がほとんどいたるとろ
uに収束します。つまり、ほとんどいたるところのtに対して、u(t)=limit_k u_nk(t),
u(-t)=limit_k u_nk(-t)。ここで、すべてのk
について、u_nk(t)＝u_nk(-t)だから、u(t)＝u(-t)。これでu∈Lが示されました。

>3行目L^⊥がこのように与えられるのはなぜか、
L＾⊥は正しくは
L＾⊥＝｛u∈L^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}.
です。M＝｛u∈L^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}
としますと、任意のLの元uと任意のMの元vに対して,u(t)v(t)=-u(-t)v(-t)で、正のtと負のtの範囲の積分値が正負逆ですから、∫uv=0はすぐでます。逆に、任意のLの元uとL^2(-1,1)の任意の元vに対して∫uv=0ならvはMに属することは、背理法で証明できます：v(t)=-v(-t)が成立しないtの集合が測度正なら、｛t∈(-1,1):v(t)＞-v(-t)｝か｛t∈(-1,1):v(t)<-v(-t)｝
のどちらかが測度正。ここでは｛t∈(-1,1):v(t)＞-v(-t)｝の場合だけを考えます。｛t∈(-1,0):v(t)＞-v(-t)｝かA=｛t∈(0,1):v(t)＞-v(-t)｝のどちらかが測度正({0}はルベーグ測度０よりtの範囲から無視します)。ここでは後者だけを考えますLの元をu=1_A+1_-A (A上とAの元に負を符号をつけた元から成るーA上で、１をとる特性関数)としますと
∫u(t)v(t) dt
=∫_A v(t)dt+∫_-A v(t)dt
> ∫_A v(t)dt+∫_-A -v(-t)dt (Aの定義より)
=∫_A v(t)dt-∫_-A v(-t)dt=0（A上のvとーA上のv(-t)は、任意の区間に値をとる定義域のルベーグ測度が同じなので、背積分値も同じ）
より、∫uv=０になりません。

>5行目射影PLがこのようになるのは

1/2・（u(t)+u(-t))がLに属し、さらにu(t)=1/2・（u(t)+u(-t))+{u(t)-1/2・（u(t)+u(-t))}
とuを分解して表現すると、u(t)-1/2・（u(t)+u(-t))が
L＾⊥＝｛u∈L^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}.
に属することは簡単な計算で確かめられます。直和での表現は唯一ですので、1/2・（u(t)+u(-t))がuのLへの射影となります。

お礼

とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。