常にｆ’’（ｘ）＞０とf’'(x)=0は何を表す？

質問

画像にて、「常にｆ’’（ｘ）＞０」はｆ’（ｘ）の「常にｆ（ｘ）に対するｆ’（ｘ）の傾きが上がる」という事を表し、 f’'(x)=0 は f'(x) のｆ（x）に対する傾きが 0 （x軸に平行な直線）であることを意味するんですか？

回答No.4

hiccup · ベストアンサー

質問者さんへ

No.2 さんの回答ですが、図を誤解されているようで、前半は無視した方がよいと思います。特に「f'(a)=0 だから x=a で最小値か最大値をとる」というのは誤りですので注意してください。

No.3 さんの回答で

> 二次導関数が 0 は何を意味するか?
> 下に凸から上に凸へ、またはその逆へ
> 切り替わる点であることを意味します。

とありますが、これも正しくありません。
たとえば関数 f(x)=x^4 では、x=0 で二次導関数は 0 ですが、グラフの膨らみ方は x=0 の前後で似ています。グラフは二次関数のグラフに似ていることを参考にしてください。

「ｆ（ｘ）に対するｆ’（ｘ）の傾き」が何のことかわかりませんでしたので、質問に答えられませんが、せっかくだから書いておきます。

y=f'(x) のグラフをかいたとすると、その各点での接線の傾きは f''(x) で与えられます。ですから、「常に f''(x)>0 」とは「y=f'(x) のグラフの接線の傾きはどこでも正」ということです。
接線の傾きがどこでも正となるグラフは、右に向かって増えていくでしょう。つまり、「f'(x) は増えていく関数」です。f'(x) とは、y=f(x) のグラフの接線の傾きでした。接線の傾きが増えていくということは、図的にいえば、右に行くにしたがって y=f(x) の接線は反時計回りに回転する、ということです。

したがって、f''(x) の正負はグラフの膨らみ方を表しているといえます。グラフは x-y平面を上下に分けますが（部分的な場合もある）、上の領域が下の領域に向かって膨らんでいるときが「下に凸」です。

膨らみのある部分の先に f''(x)=0 となる点があるなら、そこに向かって膨らみが消えていき、その点で完全に消えます。そこで接線の回転が止まるのです。その先の膨らみ方（接線の回転がどっち回りか）は、f''(x) の符号（接線の傾き f'(x) の変化がプラスかマイナスか）が教えてくれます。

お礼

ありがとうございます(^^♪
納得しました(*^_^*)