PAの実装としてのZFC

質問

以前類似した質問をしており、また再質問になります、ご容赦ください。

　１．PAのモデルには標準的なものと非標準的なものがあり、PA上の論理式では区別できないとよく目にします（だからこそ両方ともモデルといえる訳ですが）
しかし、これらのモデルもなんらかの実装で再帰的に定義して扱わないと形式の守備範囲でなくなってしまい、「PAでは」区別できないということが何を表しているか分からなくなってしまうと感じます。
そこでZFCを実装として使うものと理解していたのですがこれは正しい理解でしょうか。
つまり標準モデルNも非標準モデルも
実装としてZFCを使って、再帰的に別々のものとして個々に扱えると考えてよいのでしょうか（再帰的とは文字列間の関係として定義して、というような意味で使っています）。

また上の質問とは関係なくて申し訳ないのですが、もう一つ教えていただきたいことがあります。
　２．算術の言語における理論Kに対して新たに、個体定数cを加え、次の可算無限個の論理式を公理として加える（sは後者関数）
c≠0、c≠s0、c≠ss0、c≠sss0、c≠ssss0・・・
そうして拡大した理論をK＋とする
などというのを良くみるのですが、
無限個の閉論理式を公理として加えるとは具体的にはどういう意味なのかということです。
理論にいわゆるシェーマというもので実質的に無限個の公理が含まれていることは認められるように感じるのですが、上の書き方では「・・・」の中に何が来るかが記述されてないように見えます（もちろんそれでも何が来るかは分かるのですが、論理式において見る側の類推に任せるというのは問題ではないでしょうか、しかし同時にどのような記述を採ったとしても見る側の類推に一切頼らないなどということはあり得ないのでは？とも感じるのです）。
例えば
c≠0、c≠φが公理であるとすればc≠sφも公理である
や
c≠0、　∀n（c≠n→c≠s(n)）
などとしては意味がかわってしまうのでしょうか。（後者は強すぎる要請になってしまうのでしょうか）

　懐疑論のような何を疑問に思ってるのかわかりにくい、そもそも疑問として成り立つのか怪しい質問と思いますが、
この方面に明るい方お時間に余裕があればよろしくお願いします。

回答No.1

itshowsun · ベストアンサー

質問の意味が完全に理解できないし、
また、私が数学の専門家でもないので、
直接に答えることはできないが、
私なりのペアノ公理の理解を提供し、
あなたの質問への回答の助けとしたい。
ペアノ公理 (これをPAとする)のオリジナルな形は、
第9公理（帰納法の公理）が二階論理式であるため、
PAから導出される体系は完全であることが保証されない。
それで、完全であることが保証される一階論理式、
正確には公理スキーマに変換される。
この一階の体系では、自然数の集合 N が導出されるが、
N に含まれていない要素、これを非標準要素という、を持つ
モデル M も出てくる。
一方、二階公理系でも、無限の数のモデルが導出されるが、
それらは、同型（モデル同士が互いに1対1で対応する）を除いて一意である。
これは一階公理スキーマが二階公理よりも弱いことによると考えられる。
（ここまでに間違いはないと思うが、以下は自信がない。
この議論については私は学んでいないので、信用せずに自分で調べること）
そこで、自然数の集合 N を標準モデルとすると、
一階公理系から出る非標準モデル M を、
二階公理系を拡張して得ることを考える。
すなわち、M と N の差集合 M - N の任意の要素 c は
　c ∉ N　　　（１）
を公理に加えなければならない。
これを一階公理系にするには、式(1)ではなく
　c ≠ 0, c ≠ s(0), c ≠ s(s(0)), ・・・　（２）
を公理系に加えなければならない。
これは、公理系に加えるなら（２）より (1)の方が簡単だと思えるが、
（１）の集合 N はすべての標準モデルの集合でなければいけない。
すなわち
　∃c∀N(c ∉ N)
集合に対して量化すると、これは二階公理になる。
よって、最初に述べた理由により、
これを一階にするには(2)にしなくてはならない。

お礼

回答ありがとうございます、遅くなってしまって申し訳ありません。
帰納公理との関係から高階論理は勉強しなければとは、
ずっと思っていたのですが、いただいた回答をきっかけに少しずつ始めてみたいと思います。
この度はありがとうございました、参考にさせていただきます。