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一定の順序を含む順列
添付した問題の理解で苦しんでいます。 不等号に＝が含まれているので重複する順列だと考え、0～9の10個から重複を許して5つ選ぶので、一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通りでこれを小さい順に並べる方法は1通り。 ただし0,0,0,0,0のみ条件を満たさないから求める通り数は(10^5)-1=99999 とやってしまったのですが、 解答には 0,1,2,3…,9の10個から重複を許して5個を選んで小さい順にx0,x1,…x4とすればよい。 ただし、このうち0,0,0,0,0のみx4=0となり不適である。 9個の | と5個の○の並べ方より、14C5 したがって、(14C5)-1=2001 となっています。 解答に書いてある考え方自体はわかるのですが、自分の考え方のどこがまずかったかがはっきりわかりません。（答えの桁数からして明らかに間違いなのはわかりますが…）
- hyottokotunes
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- yyssaa
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＞参考までに10^5に含まれる重複を数えると (ア)5種類の数字(ABCDE)の並べ方5!通りは小さい順に並べれば1通りだから (5!-1)*(10C5)=29988通りが重複しており、 (イ)4種類の数字5個(ABCDD)の並べ方5!/2!通りは小さい順に並べれば1通りだから (5!/2-1)*(10C4)*4=49560通りが重複しており、 (ウ-1)3種類の数字5個(ABCCC)の並べ方5!/3!通りは小さい順に並べれば1通りだから (5!/3!-1)*(10C3)*3=6840通りが重複しており、 (ウ-2)3種類の数字5個(ABBCC)の並べ方5!/(2!2!)通りは小さい順に並べれば1通りだから (5!/4-1)*(10C3)*3=10440通りが重複しており、 (エ-1)2種類の数字5個(ABBBB)の並べ方5!/(4!)通りは小さい順に並べれば1通りだから {5!/(4!)-1}*(10C2)*2=360通りが重複しており、 (エ-2)2種類の数字5個(AABBB)の並べ方5!/(2!3!)通りは小さい順に並べれば1通りだから {5!/(2!3!)-1}*(10C2)*2=810通りが重複しており、 (オ)1種利の数字5個の場合は重複は無いが00000の1通りは対象外だから これら(ア)～(オ)を10^5から除くと 10^5-29988-49560-6840-10440-360-810-1=2001となる。
- chie65535
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＞0～9の10個から重複を許して5つ選ぶので、一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通りでこれを小さい順に並べる方法は1通り。 ＞ただし0,0,0,0,0のみ条件を満たさないから って考えて (10^5)-1=99999 って式を立てたと思うけど、これ「並び替えて同じになる物」を重複として除外してないよね？ 選んだまま、並び替えしてない状態で 0,0,0,0,1 0,0,0,1,0 0,0,1,0,0 0,1,0,0,0 1,0,0,0,0 の５つは「小さい順に並べる」と、全部 0,0,0,0,1 になるから 0,0,0,1,0 0,0,1,0,0 0,1,0,0,0 1,0,0,0,0 は重複として除外して「並び替え前は５つだったけど、並び替えた後は１つ」として「１個」と数えないといけない。 質問者さんは、これを「５つ」と数えてしまう計算式を立ててしまっている。 つまり「条件 x0<=x1<=x2<=x3<=x4 を考慮に入れてない」って結果になってます。
お礼
回答ありがとうございます。 やはりダブリをそのまま数えてしまっていました。 どおりで大きすぎる数になるはずですね。 ダブリが出ないように数え上げるのはかえってたいへんなので、重複順列として数えているわけですね。 とてもわかりやすい解説でした。ありがとうございます。
- Tacosan
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「0～9の10個から重複を許して5つ選ぶので、一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通り」の中には 1, 2, 3, 4, 5 とか 5, 4, 3, 2, 1 とかあるよね. これを「小さい順に並べる」と, 同じものになっちゃう.
お礼
なるほど！ すっきりしました。 小さい順に並べるという作業をすることで、かえってダブリが出てしまっていたのですね。 わかりやすい回答ありがとうございます。
- oze4hN6x
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「一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通り」は5桁の整数の個数であり、条件 x0<=x1<=x2<=x3<=x4 を考慮に入れていませんね。そこが間違いの原因です。
補足
迅速な回答、大変感謝いたします。 指摘いただいて、ハッとしましたが、まだ完全に理解しきれていません。 ＞「一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通り」は5桁の整数の個数であり、条件 x0<=x1<=x2<=x3<=x4 を考慮に入れていませんね 先に数字を５つ選び、それをあとから小さい順に並べる、という作業を考えてもだめなのでしょうか？ 物わかりが悪くてすみません…。
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