現代数学/論理学について勉強したい

質問

こんにちは。

20世紀初頭の論理学革命からの数論、論理学を勉強したいのですが、どのように手を付けてよいのかわかりません…

現代の数学論、論理学の最先端はやはり想像もできないほど難しい領域で初心者には垣間見ることも不可能ですか？
例えば哲学なら初心者でもなんとか第一次文献を読んで分かった気にくらいにならなれるもんですが、数論、論理学ではそのようなものではないのでしょうか？
特にフレーゲの思想やブラウアー直観主義体系を知りたいです。
それを追いつつ、現代の議論にまで追いつくことはできませんか？

あまりに漠然として自分でも困っているくらいですが、どなたかアドバイスをもらえないでしょうか？
お願いします！！

回答No.1

itshowsun · ベストアンサー

この質問に答えるのは難しい。
なぜなら、この質問は現代（数理）哲学そのものについて訊ねているからだと思う。
また、私の知る限り、これを説明したやさしい本は存在しない。
もし存在すれば、私もあなたも悩むことはないのだが、
これが「現代数理哲学」である、と簡単には提示できないのも当たり前。
そして、哲学であるので、それがどんなに難しく、大きな努力を必要としても、
それを理解した後で、応用まで発展しなくては役には立たないし、
普通の数学を学べない。
それより、まず普通の数学を学んで、役に立て（将来の就職など）ながら、
基礎である哲学をゆっくり考えた方がよい。
この前提の元で、それでも数学を学ぶためには基礎や哲学が重要だと考えるなら、
哲学的な目的または疑問を以ってさまざまなことを学ぶべきだと思う。
もしそのようなものがなければ、非常に難しい。
まず、「数学の基盤とは何か」これを勉強する。
これから、集合論、写像、述語論理について学べる。
次の「クラスとは何か」について考える。
これは「集合とは何か」について考えること、プラス
「数学とは何か」について考えることになる。
このためには公理的集合論、特にZFC集合論を学ぶべき。
そうすると、「なぜこんな公理たちが必要なのか？」、
「選択の公理とは何か」これはとてつもない公理なのでないかという疑問が湧く。
その時は、集合の始まり、カントールの集合論に一端戻る。
そこでは、「有限と無限とは？」「無限とは何か？」というカントールの答えが見つかる。
特に「対角論法」は重要である。これによって、同じ無限でもいくつかの種類があるが、
「連続体仮説」によって2種類に限定できる。
しかし、現在でも議論はいろいろあり、無限を考えた、天才たち、
カントール、ゲーデルなどは精神病院に入っている。
これについては様々な文庫本があるので読むこと。
さらに「集合とクラス」については「外延と内包」という概念を知ること。
これについては適切な本はないので、「外延と内包とは何か」常に問題意識を持つ。
集合を学んでいくと、次に数理論理学になる。
これはラッセルの哲学書がよい参考になるだろう。
ここではラッセルのパラドックスを学び、「集合とクラス」の違いを明らかにする。
この後で、あなたが思っている数学者たちが出てくる。
しかし、それを飛び越えて、ゲーデルの完全性定理と不完全性定理に進むのがよい。
ラッセルはフレーゲの野心を彼のパラドックスで粉々にし、
ゲーデルは彼の不完全性定理でヒルベルトの野心を完全に破壊した。
この辺で命題論理と述語論理を学べば、理解はし易いだろう。
そして、この後、ヒルベルトが忌み嫌ったブラウアーが出てくる。
ここでの目的は、「ブール代数とは何か」「ハイティング代数とは何か」であり、
ここで「束論」という抽象数学（または普遍数学）を学ばなければいけなくなる。
つまり「代数とは何か」である。
ここまで来ると、次に意味論を学ばなくてはいけない。すなわち、
「タルスキーの意味論とは何か」
「可能世界意味論とは何か」
「クリプケの意味論とは何か」
という疑問を持つようになる。
そして、さらに、もう一度「数学の基盤」に戻って、
「数学構成主義とは何か」について考えなければならない。
そして、最後にブルバギ的「数学の基盤」は、今や
カテゴリー理論（圏論）やトポス理論に置き換えられつつあることを学ばなければならない。
カテゴリーやトポスを学ぶためには、位相空間、層、ホモロジーなどの知識が必要になってくる。
個々まで来れば現代の議論の基礎に追いていると思える。

最後に、上に挙げた数学者たちや概念・思想をWikiで調べることが学習になると思う。
普通の図書館で、文庫や新書で「～は何か」というものも出ている。

補足

ありがとうございます！本当に！質問を締め切らないでおいて良かったと思っています！！

＞哲学的な目的または疑問を以ってさまざまなことを学ぶべきだと思う。
＞もしそのようなものがなければ、非常に難しい。

わたしは数年余計に年をくった学生ですが、この点こそ私の悩みです！
前は、いくつかの問題意識をもって哲学に励む意志を持っていましたが、哲学者の議論や術語のまえに思考停止してしまった有様ですから…。

それはともかく！
現在論理学史の本を読んでいますが、知らない用語がたくさん羅列されてあって、数学からじっくり学んでいかないとどうしようもないことを知りました。
そのためにも、私は数理論理学を学ぶための切り口を探していたところなのです！！

＞まず、「数学の基盤とは何か」これを勉強する。
＞これから、集合論、写像、述語論理について学べる。

どうにかして、これらから取り掛かりたいです。今読んでいる本を見ていると、どうやら19世紀末～20世紀初頭では集合論の議論が盛んだったようですね。
述語論理の簡単な説明くらいは大学初等教育で受けているのですが、他はさっぱりです。
情けない質問を重ねることを許して頂きたいのですが！一体なにから取り掛かればよいでしょうか…？
ツェルメロ・フレンケルの集合論システムは、もう少し後の話なのですね？
どうか、私の学習（まさしく入門）の切り口をご提示頂けると、幸いです！！

回答No.2

itshowsun

こんばんは
役に立ちそうで良かったです。
すでに書きましたが、簡単に学べる優秀な教科書は知りません。
私だったら、ウィキペディアを使います。
例えば、
数学の基盤→「数学基礎論＝http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E8%AB%96
を読んでください。できれば、その英文版も読んだ方がいいです。
＝http://en.wikipedia.org/wiki/Foundations_of_mathematics
ほとんどの場合、ウィキペディアは英語の方が分かりやすいようです。
これを手掛りに、ウィキペディアで提示した項目、人名を徹底的に調べ、
自分でまとめます。
ウィキペディアには参考文献もありますので、図書館で調べる。
インターネットにある場合はダウンロードする。
これを繰り返していけば、1年経てばなかなかのものになるでしょう。
述語論理を学ぶ時、形式言語も学ぶのを忘れないように。
数学でも重要だが、現代哲学では形式言語とは何かを理解していないと、
何も理解できないでしょう。