この関数の1次近似式の求め方を教えてください。

質問

この関数の、指定した点のまわりの1次近似式の求め方を教えてください。
(1) 式：(x^2+y^2)^(1/2)、指定する点：(x,y)=(a,b)ただし、(a,b)≠(0,0)
(2)式：logxY(xが底です)、指定する点:(x,Y)=(a,b)ただし　(a＞1、b＞0)
(3)式Arctan(y/x)、指定する点:(x,y)=(a,b)ただしa＞0
(4)式:x^y、指定する点(x,y)=(a,b)　ただし a＞0
(5)式:Arcsin(x+2y)、指定する点:(x,y)=(1,-1/4)
自分で解いてみたのですが、微分するあたりから分からなくなってしまいました。
教えてください。5問全部じゃなくても全然かまいません。
みなさん、お願いいたします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

２変数x,yの場合のテーラー展開をx,yについて１次の項まで求めるだけの問題でしょう。
一次の偏微分は微分する変数でない変数は定数とみなして微分すればよいです。

ｆ（ｘ,ｙ）=f(a,b)+(x-a)f_x(a,b)+(y-b)f_y(a,b)

(1) (a,b)≠(0,0)
f(x,y)=(x^2+y^2)^(1/2), f(a,b)=√(a^2+b^2)
f_x(x,y)=x(x^2+y^2)^(-1/2), f_x(a,b)=a/√(a^2+b^2)
f_y(x,y)=y(x^2+y^2)^(-1/2), f_y(a,b)=b/√(a^2+b^2)
∴f(x,y)=√(a^2+b^2)+a(x-a)/√(a^2+b^2 +b(y-b)/√(a^2+b^2)

(2) (a＞1、b＞0)
自然対数log[e](・)をln(・)と書くと
f(x,y)=log[x]y=lny/lnx, f(a,b)=log[a]b=ln(b)/ln(a)
f_x(x,y)=lny*(-1/(lnx)^2)(1/x), f_x(a,b)=-ln(b)/(a(ln(a))^2)
f_y(x,y)=(1/y)/lnx, f_y(a,b)=1/(b ln(a))
∴f(x,y)=ln(b)/ln(a) -(x-a)ln(b)/(a(ln(a))^2) +(y-b)/(b ln(a))

(3) a>0
f(x,y)=tan^-1(y/x), f(a,b)=tan^-1(b/a)
f_x(x,y)=-(y/x^2)/(1+(y/x)^2)=-y/(x^2+y^2), f_x(a,b)=-b/(a^2+b^2)
f_y(x,y)=(1/x)/(1+(y/x)^2=x/(x^2+y^2), f_y(a,b)=a/(a^2+b^2)
∴f(x,y)=tan^-1(b/a) -b(x-a)/(a^2+b^2) +a(y-b)/a^2+b^2)

(4) a＞0
自然対数log[e](・)をln(・)と書くと
f(x,y)=x^y=e^(yln(x)), f(a,b)=a^b
f_x(x,y)=(y/x) x^y, f_x(a,b)=b(a^b)/a
f_y(x,y)=ln(x) x^y, f_y(a,b)=ln(a) a^b
∴f(x,y)=(a^b){1+b(x-a)/a +(y-b)ln(a)}

(5) 指定する点:(x,y)=(1,-1/4)
公式{sin^-1(t)=1/√(1-t^2)を使う。

f(x,y)=sin^-1(x+2y), f(1,-1/4)=sin^-1(1/2)=π/6
f_x(x,y)=1/√(1-(x+2y)^2), f_x(1,-1/4)=2/√3
f_y(x,y)=2/√(1-(x+2y)^2), f_y(1,-1/4)=4/√3
∴f(x,y)=(π/6)+2(x-1)/√3 +4(y+1/4)/√3

以上。

微分ができなければ合成関数の微分について教科書を復習してください。

参考URL：

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html

お礼

ありがとうございました。
微分があやふやなんで復習してみます