高校数学の数列の問題、(M+m)/2=bが成り立つ理由は？
- 質問者が高校数学の数列の問題について質問しています。問題では、数列の最大値と最小値を用いて(M+m)/2=bという等式が成り立つことが示されていますが、その理由について分からないとのことです。
- 具体的な数列を示しながら、質問者が数直線上での計算を行っています。その結果、数列の要素と(M-m)/2の値が互いに等しいまたは小さいことが分かっています。
- しかし、質問者はなぜこのような結果が全ての場合に当てはまるのか理解していません。数直線上での計算がなぜこのような性質を持つのか、分かりたいとのことです。
- ベストアンサー
四-拾七 研究 高校数学の数列の問題です
a[1],a[2],a[3],...a[n]の最大値をM,最小値をmとし、(M+m)/2=bとおくと |a[i]-b|<=(M-m)/2が成り立つ(数直線で明らか)とあるのですが、これが何で成り立つのか分かりません 数直線で具体的にa[1],a[2],a[3],...a[n]をそれぞれ1~8として、このときM=8,m=1ですから (M-m)/2=3.5です、(M+m)/2=b=4.5ですから|a[i]-b|のiに1～8まで入れてみると |1-4.5|=3.5 ,|2-4.5|=2.5,|3-4.5|=1.5,|4-4.5|=0.5,|5-4.5|=0.5,|6-4.5|=1.5 |7-4.5|=2.5,|8-4.5|=3.5となりいずれも(M-m)/2=3.5より小さいか等しいと分かりますが これが全ての場合に当てはまるかどうかはどうして簡単に分かるのですか？数直線で分かるというのが分かりません
- arutemawepon
- お礼率97% (1166/1191)
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数13
- みんなの回答 （7）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
#6です。 >(M-m)/2は中点から端までの長さですよね、 そうです、a[i]の値域の『長さ』の半分ですから、中点から端までですね。 >|a[i]-(M+m)/2|は中点とa[i]の各点との距離ですからa[i]が端以外は(M-m)/2の方が大きくなりますね、 その通りです。 >この理解で正しいですか？ 正しいですよ、設問と解法を理解されたようですね。もしかすると、「論理としては正しそうだが、何か腑に落ちない、全体を通して分かった感じがしない」とお感じかもしれません。もしそうでも、気にすることはありません。学んだことが正しいとはすぐに分かっても、納得できるには時間がかかることが多いですから。逆にいえば、分からないことが一目見て分かる説明があれば、どこかおかしいかもしれないと用心したほうがいいくらいです。 途中、ちょっと脱線気味になったような気もしますので、もう一度、別の説明の仕方で整理してみます。 １．設問が言うa[i]の状況 数直線上に、a[1]～a[n]のn個の点があります。どんな数値なのか、正負すら分かりませんが、最大値はM、最小値はmだとします。Mもmも、やはり具体的にはさっぱり分かりません。 ２．(M+m)/2は何か (M+m)/2は、a[i]の最大値と最小値を選び、足して2で割っているのですから、その値（二つの値の平均値と考えてもいい、ただしa[i]全体の平均値ではない）は、a[i]の値域（数直線上でa[i]の存在する範囲）の真ん中の値になります。この値がいくらなのかは、やはりさっぱり分かりません。 ３．a[i]-(M+m)/2は何か 各a[i]から(M+m)/2を引けば、その分だけ0（数直線の原点）に近づいた値になります。そして、数直線上の(M+m)/2はa[i]の値域の真ん中の値なのでした。ということは、引いた各々の値は数直線の0のほうへずれる、つまり数直線の0を中心とした値域に変換したということになります。 こうしてやると、数直線上のどこにあるか分からなかったa[i]が数直線の0の周りに引き寄せられたことになります。最大値と最小値さえ分かっていれば、そんなことができるわけです。 ４．(M-m)/2は何か M-mは、最大値から最小値を引いたものですから、数直線上のa[i]の値域の長さになります。M, mの正負に関わらず、大きい数から小さい数を引けば必ず正の値になります。だから、普通の意味の長さ（正の値の長さ）になります。 ５．絶対値にした|a[i]-(M+m)/2|は何か ３でa[i]を操作した結果を考えてみると、数直線の0の左（マイナス側）と右（プラス側）のどちらにも、同じ長さでa[i]が散らばっているという状態にしています。左右の長さが等しいわけですね。 絶対値ですから0以上です。そして、a[i]-(M+m)/2は0を中心として左右の長さが等しく散らばっているのですから、0以上だけにした|a[i]-(M+m)/2|は半分の長さの間に散らばることになります。 ６．(M-m)/2と|a[i]-(M+m)/2|の関係 (M-m)/2はa[i]の値域の数直線上の長さの半分なのでした。そして、|a[i]-(M+m)/2|は数直線の0以上に、a[i]の値域の半分の長さで散らばっているのでした。そうなると、どんな|a[i]-(M+m)/2|も、数直線で0～(M-m)/2（端を含む）に収まっていることになります。だから「0≦|a[i]-(M+m)/2|≦(M-m)/2」という不等式で表せます。 以上が、お示しの問題と解答（の一部）が言っていることを、先の回答とは別の言い方で整理してみたものです。ちょっとこれ以上は私では説明できません。
その他の回答 (6)
#3です。 >a[i]を範囲のことだと仰っていたので、具体例の場合1から8なので範囲が8なので8とお答えしました a[i]が範囲だなどと言っていませんが？以下のように言ったのです。 #2>a[i]はm～Mの間に散らばって存在していて、(M+m)/2=bはちょうどその真ん中になります。 そういう状況の問題を示されたのですが。a[i]が最小値m、最大値Mの間で散らばっているのではないのですか？ もしそうなら、早めに仰ってください。あさっての方向の話になってしまっていますから。 >>4が真ん中と仰る理由が分かりません。値域の長さの真ん中（半分）だと3.5ですし。どういうことですか？ >8の半分が4だから4と思いました、範囲が8ですからその半分は4と思いました 質問者様が設定した例は1～8なんですよね？ 範囲が8などではないですよね。8-1＝7を否定しないですよね？ そういうことをお聞きしたのです。どうなのですか？ >>長さの半分というのは数直線上の位置とは無関係なことにご注意ください。 >長さの半分は1から8の半分だったら3.5ですよね、値域の半分と値が違うのは何故ですか？ 長さの半分が3.5と書きましたよね？ 以下の通りに。 #2>1と8の間の長さは8-1＝7ですよね。その半分の長さは3.5。 こう書いたのに3.5ですかと聞かれても困りますよ。で、その3.5の長さが数直線上で4.5ですよね。1から始まっている値域なんだから。上に再掲したのに続けて、こう書きましたよね。 #2>1から始まっているんですから、1ずらすと、3.5＋1＝4.5。それが数直線上での真ん中を表す数です。 書いてありますよね（必ずご確認ください）。値域を長さと見てその半分が3.5、それが数直線上では1から始まるんだから3.5+1＝4.5。そういう説明をしたわけなんですけど、異なるものが違うのは当たり前ではないでしょうか。違う理由を聞かれても答えようがありません。 例えば「数直線上で1から増える方向に3進むと4」だと言ったとして（※設問とは関係なく、説明のために出した喩えであることに注意）、「3と4と値が違うのはなぜか？」と聞かれても答えようがないですよね。先ほどから、それに類することを聞いておられるわけですが、どういうことですか？ 理解するための図も描いたんですが、そちらは全く聞いてきてませんよね。質問された問題と関係ないことばかりです。字面だけ追って、適当に分からないと言われているような気がします。非常に困ります。解きたい問題を解きましょうよ。次に無関係なことをお聞きであれば、問題を解く意思がそもそもなかったのだと判断して、回答は中止致します。
お礼
御返答有難うございます
補足
>a[i]が最小値m、最大値Mの間で散らばっているのではないのですか？ はい、その通りです >質問者様が設定した例は1～8なんですよね？ 範囲が8などではないですよね。8-1＝7を否>定しないですよね？ そういうことをお聞きしたのです。どうなのですか？ はい、範囲は7ですね、こちらの間違いです >上に再掲したのに続けて、こう書きましたよね。 すいません、理解できました >異なるものが違うのは当たり前ではないでしょうか。違う理由を聞かれても答えようがあ>りません。 長さと数直線上での値を同じにしていました >どういうことですか？ その辺の数の数えかたが怪しかったので、このような事も聞いてしまいました >理解するための図も描いたんですが、そちらは全く聞いてきてませんよね 図は分かりやすかったです、有難うございます、値域が何かも図を見て分かりましたし、図が無かったらもっとチンプンカンプンでした >適当に分からないと言われているような気がします。非常に困ります。解きたい問題を解>きましょうよ はい、そういう基礎的な部分があやふやなので、聞いてしまいました、(M-m)/2は中点から端までの長さですよね、|a[i]-(M+m)/2|は中点とa[i]の各点との距離ですからa[i]が端以外は(M-m)/2の方が大きくなりますね、この理解で正しいですか？
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
はい
お礼
御返答有難うございます
補足
貴方の方法は式を変形して成立を示すと思うんですが、数直線で納得出来る方法を知りたいです
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
|x| ≦ a iff -a ≦ x ≦ a だから明らかでしょ?
お礼
御返答有難うございます
補足
iffって何ですか？
#2です。 >値域というのはy座標の事かと思っていたのですが、座標上での値の事を言うんですか？ 私はそう言っていますが、流儀が違う人もいるでしょうね。 >a[i]の値域というのは具体例の場合1<=a[i]<=8という事ですよねa[i]-(M+m)/2はa[i]を1から8までの範囲として考えるのですか？ そうです。 >つまりa[i]は具体例の場合8という意味ですか？ 具体例では1～8となっているのですが、なぜ8だけにするのか分かりません。どういうことですか？ >(M+m)/2が真ん中とありますが具体例の場合4.5となってしまいます、しかし1から8の真ん中は4ですよね 0を中心とする値域に移すという表現も良く分かりません 4.5が真ん中ですが？ 1と8の間の長さは8-1＝7ですよね。その半分の長さは3.5。1から始まっているんですから、1ずらすと、3.5＋1＝4.5。それが数直線上での真ん中を表す数です。 4が真ん中と仰る理由が分かりません。値域の長さの真ん中（半分）だと3.5ですし。どういうことですか？ >M-mは、a[i]のうち、最大と最小の差ですから、a[i]の値域の長さを正の値で表していま>す。 >この表現は分かりやすかったのですが、では真ん中は(M+m)/2ではなくて(M-m)/2のほうではないですか？ 数直線で言えば、(M+m)/2は値域の真ん中の数直線上の位置、(M-m)/2はa[i]の散らばっている値域だけを見たときの真ん中（長さの半分）です。数直線上の位置は数直線が示す数であり、長さの半分というのは数直線上の位置とは無関係なことにご注意ください。
お礼
御返答有難うございます
補足
>具体例では1～8となっているのですが、なぜ8だけにするのか分かりません。どういうこと>ですか？ a[i]を範囲のことだと仰っていたので、具体例の場合1から8なので範囲が8なので8とお答えしました >4が真ん中と仰る理由が分かりません。値域の長さの真ん中（半分）だと3.5ですし。どう>いうことですか？ 8の半分が4だから4と思いました、範囲が8ですからその半分は4と思いました >長さの半分というのは数直線上の位置とは無関係なことにご注意ください。 長さの半分は1から8の半分だったら3.5ですよね、値域の半分と値が違うのは何故ですか？
数直線の得意な人は数直線で分かるかもしれません。私は苦手なので代数的にやってみます。 a[i]はm～Mの間に散らばって存在していて、(M+m)/2=bはちょうどその真ん中になります。 a[i]-b=a[i]-(M+m)/2は、散らばって存在するa[i]の値域を、0を中心とする値域に移します。|a[i]-b|と絶対値を取ると、正の部分にだけ限定することになります。それは、a[i]の値域の長さの半分です。 M-mは、a[i]のうち、最大と最小の差ですから、a[i]の値域の長さを正の値で表しています。(M+m)/2だとその半分です。先ほど考えた|a[i]-b|も、同じ値域に散らばって存在しているのでした。 と、ここまで考えて、値域を長さのように扱ったことから、数直線に向きそうです。数直線で表してみると添付図のようになります。確かに、その範囲に収まるようです（でも、明らかと頭ごなしに言われても分からないなあ、というのが実感）。 P.S. |M-(M+m)/2|=(M-m)/2であることを考えると（※これはM＞mより、M, mの正負に関わらず正の値になる）、Mはa[i]の最大値ですから、|a[i]-b|=|a[i]-(M+m)/2|が(M-m)/2以下になりそうだと考えて、正負に注意して調べてもいいかもしれません。
お礼
御返答有難うございます
補足
＞a[i]-b=a[i]-(M+m)/2は、散らばって存在するa[i]の値域を、0を中心とする値域に移ま＞す 値域というのはy座標の事かと思っていたのですが、座標上での値の事を言うんですか？ a[i]の値域というのは具体例の場合1<=a[i]<=8という事ですよねa[i]-(M+m)/2 はa[i]を1から8までの範囲として考えるのですか？つまりa[i]は具体例の場合8という意味ですか？(M+m)/2が真ん中とありますが具体例の場合4.5となってしまいます、しかし 1から8の真ん中は4ですよね 0を中心とする値域に移すという表現も良く分かりません >M-mは、a[i]のうち、最大と最小の差ですから、a[i]の値域の長さを正の値で表していま>す。 この表現は分かりやすかったのですが、では真ん中は(M+m)/2ではなくて(M-m)/2のほうではないですか？
- f272
- ベストアンサー率46% (8012/17126)
|a[i]-b|は真ん中の位置から個々の点までの距離 (M-m)/2は真ん中の位置から端の点までの距離
お礼
御返答有難うございます
補足
>|a[i]-b|は真ん中の位置から個々の点までの距離 真ん中というのはbの事ですね、最大値と最小値の和を2で割ったら真ん中になるんですか？ >(M-m)/2は真ん中の位置から端の点までの距離 (M-m)/2が何で真ん中の位置から端の点までの距離になるんですか？
関連するQ&A
- 数学の問題です わからないので教えて下さい
実数a,bに対してf（x）=a(x-b)²とおく。ただしaは正とする。 放物線f(ｘ)が 直線y=-4x+4に接している i) bをaを用いて表せ ii) 0≦ｘ≦2において f(ｘ)の最大値M(a)と、最小値ｍ(a)を求めよ
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学数列の問題です。
以下の問題がまったくわかりません。 数列 { a[n] } を次のように定める。 (i)a[1] = 0 (ii)n = 2, 3, 4, … に対し a[n-1] ≧ n のとき a[n] = a[n-1] - n a[n-1] < n のとき a[n] = a[n-1] + n とする。 (1)a[7] を求める。 (2)a[k] = k のとき、条件 m > k、a[m] = m を満たす最小の整数 m を k で表す。 (3)a[2018]を求める。 (1) n = 2 のとき a[1] = 0 ＜ 2 なので a[2] = a[1] + 2 = 2. n = 3 のとき a[2] = 2 ＜ 3 なので a[3] = a[2] + 3 = 5. n = 4 のとき a[3] = 5 ≧ 4 なので a[4] = a[3] - 4 = 1. n = 5 のとき a[4] = 1 ＜ 5 なので a[5] = a[4] + 5 = 6. n = 6 のとき a[5] = 6 ≧ 6 なので a[6] = a[5] - 6 = 0. n = 7 のとき a[6] = 0 ＜ 7 なので a[7] = a[6] + 7 = 7. この結果より a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] 0 2 5 1 6 0 7 と並べても規則性がわからないので(2)(3)はお手上げです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です。
以下の証明を教えてください。 p_iはi番目の素数のことです。 α_iとβ_iは0以上です。 (a,b)はaとbの最大公約数です。 min(α,β)はαとβの最大公約数の最小の値です。 aは(p_i)^(α_i)の(1 ≦ i ＜ ∞)の範囲の積、bは(p_i)^(β_i)の(1 ≦ i ＜ ∞)の範囲の積です。 このとき、 (a,b)は(p_i)^[min{(α_i),(β_i)}]の(1 ≦ i ＜ ∞)の範囲の積であることを示せ。 数学記号使えなくてすみません。 問題がよくわからない場合は言ってください。 補足します。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学数列の問題です。
数列 { a[n] } を次のように定める。 (i)a[1] = 0 (ii)n = 2, 3, 4, … に対し a[n-1] ≧ n のとき a[n] = a[n-1] - n a[n-1] < n のとき a[n] = a[n-1] + n とする。 (1)a[7] を求める。 (2)a[k] = k のとき、条件 m > k、a[m] = m を満たす最小の整数 m を k で表す。 (3)a[2018]を求める。 昨夜 https://okwave.jp/qa/q9573183.html で同じ質問をした者です。せっかく回答いただいたのに、ぱっと見でわかったと勘違いしてました。じっくり取り組んだら全然理解していませんでした（笑）。 (2) a[k] = k (kは自然数) より n = k+1 のとき a[k] = k < k+1 なので a[k+1] = a[k] + (k+1) = 2k + 1. n = k+2 のとき a[k+1] = 2k + 1. 2k+1 - (k+2) = k - 1 ≧ 0. したがって a[k+2] = k-1. ある自然数 j < k に対して a[k+2j-1] = 2k + j a[k+2j] = k - j と仮定する。 n = k+2j+1 のとき a[k+2j] - k+2j+1 = (k-j) - (k+2j+1) = -3j-1 < 0 だから、a[n]の定義により a[k+2j+1] = a[k+2j] + k+2j+1 = (k-j) + k+2j+1 = 2k + j + 1. n = k+2j+2 のとき a[k+2j+1] - (k+2j+2) (2k+j+1) - (k+2j+2) = k - j - 1 ≧ 0 ( j < k なので k - j ≧ 1 ) だから a[k+2j+2] = a[k+2j+1] - k+2j+2 = (2k+j+1) - k+2j+2 = k - j - 1. ここまでは何とか解読しました（笑）。 まとめると、ある自然数 j < k に対して a[k+2j-1] = 2k + j a[k+2j] = k - j と仮定したとき a[k+2j+1] = 2k + j + 1 a[k+2j+2] = k - j - 1 が成立するわけですが、ここから > j + 1 < k ならば全ての自然数 j < k に対して > a[k+2j-1] = 2k + j > a[k+2j] = k - j ・・・・・ (2.1) > が成り立つ が、わかりにくいです。数学的帰納法を使うのでしょうが、どう適用すればいいのかわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3の最大値
放物線と直線で囲まれた図形の面積Sを求める問題の一部分なんですが、 『S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3＝1/6{(m－4)^2＋8}^3/2 (m－4)^2＋8はm＝4で最小値8をとるから、Sはm＝4で最小値8√2/3をとる。』 と書いてあるのですが、これは、『√(m^2－8m＋24)≧0だから{√(m^2－8m＋24)}^2が最小となるとき、√(m^2－8m＋24)も最小となる。 √(m^2－8m＋24)≧0だから√(m^2－8m＋24)が最小となるとき{√(m^2－8m＋24)}^3も最小となる。』 ということを簡潔に言っているのでしょうか？ その前にそもそも『f(x)≧0、nは自然数のとき、f(x)はx＝～で最小となる⇔{f(x)}^nはx＝～で最小となる』というのは正しいでしょうか？ 『a＞0、b＞0、nは自然数のとき、a＜b⇔a^n＜b^n』と参考書に書いてあったことから考えたんですが… よく、絶対値とかの最大、最小を求めるときに、『A^2は～のとき最大となり、A≧0だから、このときAも最大となる。』というのを使いますが、それもこれのn＝2の場合なのかな？と思ったのですが… どなたか回答くださると助かります(>_<)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 四の十八 研究 高校数学の数列です
a[1]=2,b[1]=1の時 a[n+1]=2a[n]+5b[n] b[n+1]=a[n]+2b[n]によって定まる分数a[n]/b[n]は√5の近似値であるとあるのですが どうやって√5が近似値と分かるんですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学 数列
第n項がa(n)=[log{2}(n)] (2は底 nは真数) (n=1,2,3…)で表される数列{a(n)}について、 Σ[k=1～(2^m)-1] a(k) を求めよ。 ただし、[log{2}(n)]はlog(2)nを超えない最大の整数を表す。また、mは自然数とする。 2^(k-1)≦n≦2^k-1のとき、 k-1≦log{2}(n)≦log{2}(2^k-1) より、 [log(2)n]=k-1 また、[log(2)n]=k-1となるようなnは、2^k-1-2^(k-1)+1=2^(k-1) 個ある。 よって、 Σ[k=1～(2^m)-1] a(k) =Σ[k=1～m] (k-1)*2^(k-1) =Σ[k=0～m-1]k*2^k =Σ[k=1～m-1]k*2^k これをSとおくと、 2S-S=Σ[k=0～m-1]k*2^(k+1)-Σ[k=0～m-1]k*2^k ⇔S=(m-1)*2^m-Σ[k=0～m-1]2^k =(m-2)*2^m+2ー(答) 添削お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 四の二十一 高校数学の数列です
関数f(x)を次のように定義する f(x)={1(x=0のとき),0(x≠0のとき)} このときf(x)を使って数列a[0],a[1],a[2],....をa[0]=0, a[n]=a[n-1]+f{(a[n-1]+1)^2-n}(n>=1)で定義する このとき、a[n]=[√n](n>=0)であることを証明せよ ただし、[x]はxをこえない最大の整数を表す 回答 a[0]=0であるからa[n]=[√n](1)はn=0のときに成り立つ n=kのときに(1)が成り立つと仮定し[√k]=mとおくと a[k+1]=a[k]+f{(a[k]+1)^2-(k+1)} =m+f{(m+1)^2-1-k} よってk=(m+1)^2-1のときはa[k+1]=m+1,[√k+1]=m+1よって a[k+1]=[√k+1] またm^2<=k<(m+1)^2-1のときはa[k+1]=m, [√k+1]=m よって[√(k+1)] したがってn=k+1のときも(1)が成り立つ よって数学的帰納法により0以上の全ての整数について位置が成り立つ とあるのですが[√k+1]=m+1とか[√k+1]=mは何のために求めるのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学；数と式とその論証
任意の正の数 a, b に対して、つねに √a+√b≦k√(a+b) が成り立つような実数kの最小値を求める。 これを同値変形して k≧(√a+√b)/√(a+b) (>0) 二乗して k^2≧1+2√ab/a+b (=I とおく) を得ます。 ここで私は"kの最小値"を求めるために "Iの最小値"を目指しました。 しかし、解答では"Iの最大値"を求め、"kの最小値"としています。 なぜ Iの最大値も求めたのでしょうか。 回答おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
御返答有難うございます、他にも質問しているものはありますので、宜しければそちらも是非宜しくお願いします
補足
有難うございます、分かりやすかったです、これでちゃんと理解することができたと思います