漸化式

質問

漸化式を利用した問題がわかりません。
教科書などの説明が理解できず
質問してみることにしました。

画像の問題の変形したところまでは
なんとなくわかったのですが
そこからが理解できません。。

説明できる方がいれば
ぜひお願いします。

回答No.3

いろは にほへと（@dormitory）

こんばんは。漸化式を初めて見たときのちんぷんかんぷんな印象ったら無いですよね。
方法は先のお二方の回答にある通りです。もしそれでも腑に落ちなかったら、http://www.geocities.co.jp/Technopolis/1505/zk_index.htm
がお勧めです。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
αの値を求めて、漸化式を変形したところまではわかっているのですよね？

変形した式を見ると、a[n+1]-1と a[n]-1という同じ形が現れています。
これらを一度新しい数列：b[n]= a[n]-1として置いてあげると、
「b[n+1]はb[n]の3倍になる」という等比数列の関係になることがわかります。
ですので、そこから b[n]の一般項を求めて、上の式から a[n]= b[n]+1として a[n]の一般項を求めています。

b[n]の一般項を求めるときに、初項が必要になりますが、
上の式に n= 1を当てはめれば、b[1]= a[1]-1= 2となりますよね。

漸化式の問題にはいろいろなパターンがありますが、
等比数列か等差数列の関係(漸化式)に変形するためのパターンがいろいろあるだけです。
わかりやすい数列で一度関係を整理しているだけですよ。

回答No.1

spring135

どんなテキストを使っているか知りませんが

α＝3α-2　　　　　　　　　　　　　　　（0）

がいきなり出てきたところで完全に眩惑されていますね。

おそらくもっと前のページにこの式の意味が書いてあるはずです。

元の式

a(n+1)=3a(n)-2 (1)

においてn→∞とした時に収束する値αがあるとすれば

lim(n→∞)a(n+1)=lim(n→∞)a(n)=α

だろう、したがって(1)において

α＝3α-2　　　　　　（0）

となるだろう、この式を解いて

収束値α＝1

という話が省略されています。

ではなんでそんなものが必要なのかというと

(1)-(0)をつくると計算前に定数項が消えるのがわかりますか。

つまり

a(n+1)-α=3(a(n)-α)　　　(2)

この式は数列　b(n)=a(n)-α　が等比数列になっていることがわかりますか。

つまり性格のわからない数列a(n)を等比数列に置き換えることができるということです。

(2)にα＝1を代入して

a(n+1)-1=3(a(n)-1)=3^2(a(n-1)-1)=.....=(3^n)(a(1)-1)=2*3^n (a(1)=3)

a(n+1)=2*3^n+1

a(n)=2*3^(n-1)+1